Используйте теорему о множителях, чтобы найти все нули полинома $2x^3+3x^2+x+6$ с одним известным фактором $x+2$

Aug 18 2020

Я должен найти факторы $2x^3+3x^2+x+6$ где мне сказали, что$x+2$один из факторов. Использование синтетического деления для деления$2x^3+3x^2+x+6$ по $x+2$ Я подтверждаю, что остатка нет, поэтому он равен нулю, а новое частное $2x^2-x+3$

Так что я: $(x+2)(2x^2-x+3)$

Теперь я хотел бы учесть $(2x^2-x+3)$но мне тяжело. Поскольку мой ведущий коэффициент не равен 1, я знаю, что для факторизации путем группировки я должен найти два числа, сумма которых равна -1, а произведение равно 6 (ведущий коэффициент 2 * постоянный член 3).

Я не могу найти ни одного, поэтому не знаю, как продолжить факторинг $(2x^2-x+3)$.

Я считал:
-1 и 6: продукт = -6, сумма 5
1 и -6: продукт = -6, сумма -5
2 и -3: продукт = -6, сумма -1 # закрыть
-2 & 3: продукт = -6, сумма 1 # также закрывает
-2 и -3: произведение = 6, сумма 5

Как я могу учитывать $(2x^2-x+3)$?

Ответы

4 Noname Aug 18 2020 at 15:22

$2x^2-x+3=2(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})$ где дискриминант $\Delta=(\frac{-1}{2})^2-4\times 1\times \frac{3}{2}=\frac{1}{4}-6<0$. Следовательно$x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ не имеет действительных корней и, следовательно, является неприводимым многочленом над $\mathbb{R}$.