Изготовление матрицы $M(c)=N(c)-L(c)$ положительно определенным выбором скаляра $c$, где $N(c)$ положительно полуопределенный

Question

Позволять $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$ с участием $n>m$ и $Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$ с участием $n>k$ такой, что $P^T P = I_m$ и $Q^T Q = I_k$. Также предположим$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$. Затем докажите следующее утверждение:

Существует $c>1$ такая, что матрица $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$положительно определен. (То есть,$v^T M v > 0$ для всех $v\in\mathbb{R}^n$ такой, что $v\neq 0$ или, что то же самое, все собственные значения $M$ находятся в открытой правой полукомплексной плоскости.)

Верно ли приведенное выше утверждение? Если правда, то как это доказать?

Замечание 1. Матрица$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ положительно полуопределено для всех $c$ потому что это в форме $H^T H$.

Замечание 2. Матрица$(I_n - cQQ^T)$ положительно полуопределен для $c=1$ и положительно определенно для $0\leq c <1$. Но поскольку мы рассматриваем$c>1$, она оказывается неопределенной матрицей, что означает, что она имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения.

Answer 1

Позволять $P=w=Q$ с участием $\|w\|=1$, $c>1$, и разреши $v\cdot w=0$, $v\ne0$. потом$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$

В более общем смысле, если $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$, тогда $v^TMv\le0$.

---

Ответ на измененный вопрос с $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$.

Позволять $m=1$, $n>2$, позволять $P=w$ с участием $\|w\|=1$; позволять$Q$ быть таким, чтобы $Q^Tw=0$. Затем, как и раньше$Mw=0$.