Как я могу вычислить производную дельта-функции, используя ее определение Фурье?
Мне интересно, можно ли вычислить производную дельта-функции Дирака, используя определение, полученное в результате преобразования Фурье: $$\delta(x-x')=\frac{1}{2\pi}\int e^{-ik(x-x')}dk.$$ Я попытался сделать следующее (все интегралы от -infinity до + infinity): $$\frac{d}{dx}\delta(x-x') = \frac{1}{2\pi} \int \frac{d}{dx}e^{-ik(x-x')}dk=\frac{-1}{2\pi} \int e^{-ik(x-x')} \cdot ik dk$$ $$=\frac{-1}{2\pi} \left\{\frac{-ke^{-ik(x-x')}}{x-x'}\bigg|_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ik(x-x')}}{x-x'}dk\right\}$$ Если бы первый член был равен нулю, то второй член стал бы $\frac{-\delta(x-x')}{x-x'}$. Интуитивно это должна быть производная от дельта-функции: когда$x'$приближается слева, его производная идет от 0 до бесконечности; справа производная идет от 0 до отрицательной бесконечности. Однако мне не удалось показать, что первый член действительно равен нулю. Можете ли вы это доказать / опровергнуть?
Ответы
Первый член не равен нулю в прямом смысле слова, на самом деле выражения явно расходятся. Причина, по которой в физике вы можете притвориться нулевым, заключается в том, что$\delta$ и его производная $\delta'$на самом деле это не функции со сходящимся разложением Фурье, а, как их часто называют, распределения .
На мой взгляд, самый простой способ понять это - это то, что они являются двойными векторами функционального пространства. В частности,$\delta$ находится в двойном пространстве $(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}))^\ast$ пространства непрерывных функций, и $\delta'$ в $(\mathcal{C}^1(\mathbb{R}))^\ast$т.е. непрерывно дифференцируемые функции. Простой и точный способ их определения -$$\begin{align} \delta_{x_0} \: f :=& f(x_0) \\ \delta'_{x_0} \: f :=& -f'(x_0) \end{align}$$ то есть аргумент $\delta$на самом деле функция , а не действительное число. Все, что написано в$\delta(x-x')$ style - это на самом деле просто псевдо-обозначение, которое становится четко определенным только тогда, когда оно появляется в интеграле: $$\begin{align} \int_\Omega\!\!\mathrm{d}x\ \delta(x-x_0) \cdot f(x) := \delta_{x_0}\:f =& f(x_0) & \text{if $x_0 \ in \ Omega$} \end{align}$$Точно так же вы можете сделать все это в пространстве Фурье. Расширение$\delta(x) \propto \int\mathrm{d}k\ e^{-ikx}$ на самом деле не сходится само по себе, однако оно сходится при частотном умножении на преобразование Фурье непрерывной функции, потому что такое разложение имеет коэффициенты, убывающие по крайней мере на $O(k^{-1})$, так $$ \|e^{-ikx} \cdot\operatorname{FT}(f)(k)\| \leq O(k^{-1}) $$и осциллирующая функция, которая затухает таким образом, может быть интегрирована.
Аналогично, разложение Фурье, полученное вами для $\delta'$ имеет смысл после того, как вы умножите его по частоте на разложение непрерывно дифференцируемой функции, потому что оно затухает в $O(k^{-2})$ и поэтому $$ \bigl(\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\:\delta(x-x')\bigr)\:f(x) \propto \left.\left[\frac{-k\cdot e^{-ik(x-x')}}{x-x'}\cdot O(k^{-2})\right]\right|_{-\infty}^\infty + \ldots $$ и тут $k\cdot O(k^{-2})$ дает что-то в $O(k^{-1})$, который, следовательно, исчезает на бесконечности, что означает, что ваш вывод верен.