Как $A$ относится к $B$ если $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$?

Question

За $A \geq B$, оба являются строго положительными целыми числами, какова связь между $A$ а также $B$ такое, что верно следующее? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

Раньше я задавал этот вопрос, может быть здесь , и был показан контрпример, опровергающий его. Теперь я хотел бы спросить, можем ли мы найти условия (выражение в терминах$A$ а также $B$), что верно вышесказанное.

Я заметил одну вещь (обобщение ответа @Clement Yung в моем исходном сообщении - спасибо!): Если $B = \lceil A/k \rceil$ (для любой постоянной $k$), то это неверно. Интересно, есть ли другие случаи, когда это ложно, или лучше, если есть условие (я), когда оно всегда истинно.

Answer 1

Рассмотрим сначала случай, когда $A=B$ а потом $A/B=1$. В этом случае,$\lfloor A/B\rfloor=\lceil A/B\rceil=1$, так что неравенство ОП сводится к

$$A-3\lfloor A/B \rfloor \leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-3\leq A $$

что тривиально верно.

Если $A/B>1$, тогда $\lfloor A/B\rfloor+1=\lceil A/B\rceil$, так что неравенство принимает вид

$$A-3\lfloor A/B \rfloor -1\leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-(B+3)\lfloor A/B \rfloor -1\leq 0$$ $$\lfloor A/B \rfloor\geq \frac{A-1}{B+3}$$

Это условие, необходимое для выполнения исходного неравенства ОП.

---

Например, если $A=5$ а также $B=2$, то условие выполняется, так как $$\lfloor 5/2 \rfloor=2 > \frac{5-1}{2+3}=\frac 45$$

Соответственно, для этих значений выполняется исходное неравенство, так как оно дает

$$5-2-3\leq 2\cdot 3$$ $$0\leq 6$$

Другой пример: если $A=12$ а также $B=7$, то условие не выполняется, так как $$\lfloor 12/7 \rfloor=1 < \frac{12-1}{7+3}=\frac {11}{10}$$

Соответственно, для этих значений исходное неравенство не выполняется, так как оно дает

$$12-1-2\leq 1\cdot 7$$ $$9\leq 7$$

Answer 2

$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ Рассмотрите возможность написания $A = NB + k$ для некоторых $N \in \Bbb{Z}^+$ а также $0 \leq k < B$. Рассмотрим два случая.

Если $k = 0$ (т.е. $A$ кратно $B$), то мы можем переписать неравенство как: \ begin {align *} A - \ f {A / B} - \ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff NB - 2N \ leq N (B + 1) \\ & \ iff -2N \ leq N \\ & \ iff N \ geq 0 \ end {align *}, что всегда выполняется. Если$k > 0$, затем: \ begin {align *} A - \ f {A / B} - \ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff (NB + k) - N - (N + 1) \ leq N (B + 1) \\ & \ iff k - 2N - 1 \ leq N \\ & \ iff 3N + 1 \ geq k \ end {align *} Для фиксированного$B \in \Bbb{Z}^+$, теперь мы можем классифицировать все целые числа $A$ такое, что неравенство выполняется при рассмотрении значения $k$ (т.е. оставшаяся часть $A$ при делении на $B$, который принимает конечное число возможных значений). В частности, если$3N + 1 \geq B - 1$, то неравенство сразу выполняется.