Как это определение определяет символ $P$ вне набора символов $S$ как $S$-предложение?
На стр. 126 в § 3. Расширения с помощью определений в VIII Синтаксических интерпретациях и нормальных формах в математической логике Эббингауза :$S$ является (нелогическим) набором символов
3.1 Определение. Позволять$\Phi$ быть набором $S$-приговоры.
(а) Предположим $P \notin S$ является $n$-арное отношение и $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ ан $S$-формула. Затем мы говорим, что$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ является $S$-значение $P$ в $\Phi$.
Как $ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ а $S$-предложение или даже $S$-формула?
$P v_0 ... n_{n-1}$ находится слева от $\leftrightarrow$. Это предполагает$P v_0 ... n_{n-1}$ быть $S$-формула? Но$P \notin S$, так как же $P v_0 ... n_{n-1}$ быть $S$-формула?
Спасибо.
Ответы
Чтобы сэкономить на записи, позвольте $\sigma$ стоять за $\forall v_0, \ldots, \forall v_{n-1} (Pv_0, \ldots, v_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, \ldots, v_{n-1}))$.
Ты прав, что $\sigma$ не является $S$-формула, потому что $\sigma$ включает в себя символ $P$, которого нет в $S$. С другой стороны,$\sigma$ является $(S \cup \{P\})$-предложение. Вот в чем дело:$\sigma$ говорит вам, что символ $P$, которого нет в $S$, эквивалентно $S$-формула. Терминология »$S$-определение "относится к тому факту, что $\sigma$ определяет $P$ с точки зрения $S$, это не значит, что $\sigma$ сам по себе $S$-предложение.