Как мы можем доказать это: $\int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx = 2 \pi I_0(a)$

Aug 19 2020

Как мы можем утверждать, что $$ \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x)) \,dx = 2 \pi I_0(a) $$ где $I_0(a)$ является модифицированной функцией Бесселя.

Я попытался упростить его, как показано ниже: \begin{align} \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx & = \int_0^\pi \exp(i a\cos(x))\, dx + \int_\pi^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(i a\cos(\theta + \pi))\, d\theta\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta \end{align}

Как я могу это показать $$ \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta = \pi I_0(a) \text{ ?} $$

Ответы

1 MarkViola Aug 19 2020 at 09:48

Обеспечение замены $x\mapsto 2\pi-x$, Мы видим, что

$$\int_\pi^{2\pi}e^{ia\cos(x)}\,dx=\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx$$

Следовательно, мы утверждаем, что

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} e^{ia\cos(x)}\,dx&=2\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx\\\\ &=2\pi I_0(a) \end{align}$$

как должно было быть показано!