Как получить следующий лимит: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$
Как получить следующий лимит:
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$
Если я позволю $x=r\cos \theta$ и $y=r\sin \theta$ где $\theta\in (0, \pi/2)$, тогда $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$
Кажется, предела не существует.
Ответы
В этих случаях часто хорошей стратегией является использование замены переменной, чтобы уравнять показатели в знаменателе, действительно, пусть $x^4=u$ и $y=v$ тогда
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$
и мы можем легко сделать вывод, например, используя полярные координаты или предполагая два разных пути как $u=\pm v$.
По кривой $y=x^{4}$ предел $\frac 1 2 $ и вместе $y=0$ это $0$. Следовательно, предела не существует.