Как QFT представляет частотную область?
QFT часто объясняется с помощью классического аналога, который преобразует определенную функцию из временной области в частотную. Глядя на дискретное преобразование Фурье, имеет смысл увидеть, как синусоидальная волна становится всплеском на определенной частоте.
Однако я не понимаю, как это понятие «частотной области» применимо к квантовому преобразованию Фурье. Как базис Фурье представляет эту частотную область?
Если мы применим QFT к квантовой «синусоидальной волне», будет ли она выдавать определенную частоту?
Ответы
Преобразование Фурье является более общим, чем переход из временной области в частотную. Например, физики регулярно преобразуют Фурье из пространства позиций в пространство импульсов.
В обоих этих примерах преобразование Фурье является базисным преобразованием, т.е. оно преобразует базисные векторы, используемые для представления некоторого состояния, без изменения самого состояния. Точно так же QFT - это просто базисное преобразование от вычислительного базиса к базису Фурье .
Чтобы увидеть, как QFT соотносится с более знакомыми преобразованиями Фурье, может быть полезно рассмотреть, как целые числа представлены как в вычислительном базисе, так и в базисе Фурье. Чтобы проиллюстрировать это, я рассмотрю конкретный пример QFT для системы с четырьмя кубитами.
В вычислительной основе целые числа представлены в двоичной форме (по соглашению MSB слева). Итак, для четырех кубитов$$\vert 0 \rangle=\vert 0000 \rangle, \;\;\vert 1 \rangle=\vert 0001 \rangle, \;\; \vert 2 \rangle=\vert 0010 \rangle,\;\; ..., \;\; \vert 15 \rangle =\vert 1111 \rangle.$$ Алгебраически это дается $$\vert n \rangle=\vert a(2^3)+b(2^2)+c(2^1)+d(2^0) \rangle=\vert abcd \rangle, \;\; a,b,c,d \in \lbrace 0,1 \rbrace, \; n \in \lbrace 0,...,15\rbrace.$$ О четырех сферах Блоха, связанных с $\vert abcd \rangle$, считая от $\vert 0 \rangle$ к $\vert 15 \rangle$выглядит так:
Вы можете видеть, что в представлении сфер Блоха различные значения $\vert n \rangle$ различаются упорядоченными наборами кубитов на каждом из их северных полюсов, $\vert 0 \rangle$, или их южный полюс, $\vert 1 \rangle$. Интуитивно, подсчитывая кубит, связанный с младшим битом,$\vert d \rangle$, меняет состояние на каждом шаге, тогда как кубит, связанный с MSB, $\vert a \rangle$, меняет состояние каждый восьмой шаг. [Обратите внимание, что сфера Блоха на самом деле является сферой Римана (то есть комплексной проективной линией), поэтому ортогональные состояния, такие как$\vert 0 \rangle$ а также $\vert 1 \rangle$, представлены противоположными точками.]
Те же 16 целых чисел, представленных в базисе Фурье, $ \text{QFT} \vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle =\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle $, алгебраически задается формулой $$\vert \tilde n \rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2^4}}(\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^3} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^4} \vert 1 \rangle).$$ Теперь, считая в базисе Фурье из $\vert \tilde n \rangle = \vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle = \vert \tilde 0 \rangle$ к $\vert \tilde {15} \rangle$ все четыре кубита меняют состояние на каждом шаге, при этом $\vert \tilde a \rangle$ делать самые большие шаги (т.е. переключаться между $\vert + \rangle$ а также $\vert - \rangle$, который $\frac{1}{2}$ оборота на шаг) и $\vert \tilde d \rangle$ делать самые маленькие шаги ($\frac{1}{16}$ оборота на шаг).
О четырех сферах Блоха, связанных с $\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle$, при подсчете в базисе Фурье каждое состояние кубита вращается в экваториальной плоскости с уменьшающейся частотой от $\vert \tilde a \rangle$ к $\vert \tilde d \rangle$.
В одной последовательности подсчета от $\vert \tilde 0 \rangle$ к $\vert \tilde {16} = \tilde 0 \, (\text{mod} \, \tilde {16}) \rangle$ кубиты, связанные с $\vert \tilde a \rangle, \, \vert \tilde b \rangle, \, \vert \tilde c \rangle$, а также $\vert \tilde d \rangle$ сделать точно $2^3, \, 2^2, \, 2^1$, а также $2^0$полные вращения в соответствующих экваториальных плоскостях. Точно так же, если мы рассматриваем «отсутствие вращения» в экваториальной плоскости как состояние$H\vert 0 \rangle=\vert+\rangle$, тогда $\vert \tilde 0 \rangle = \vert ++++ \rangle$ дает все кубиты без вращения, а $\vert \tilde {15} \rangle$дает все кубиты при их максимальном вращении (в положительном направлении). [Обратите внимание, что QFT с одним кубитом - это просто вентиль Адамара,$H$. В очереди,$H$это просто двухуровневое ДПФ, как отмечалось в предыдущем ответе .]
В этом примере вы можете увидеть, как высокая величина, связанная с$\vert a \rangle$ как составная часть $\vert n \rangle$в вычислительном базисе соответствует высокой частоте, связанной с$\vert \tilde a \rangle$ как составная часть $\vert \tilde n \rangle$ в базисе Фурье и т. д. для $\vert b \rangle \,, \vert c \rangle$, а также $\vert d \rangle$. Надеюсь, это поможет сделать аналогию между QFT и DFT более ощутимой.
Уравнения, использованные выше, были специфичны для примера системы с четырьмя кубитами. Они естественным образом обобщаются на$N$-кубитовые системы как $$\vert n \rangle = {\Big \vert} \sum_{k=0}^{N-1} x_k 2^k {\Big \rangle} = \vert x_0 ... x_{N-1} \rangle, \; x_k = \lbrace 0,1 \rbrace, \, n= \lbrace 0,...,2^N-1 \rbrace,$$ $$\text{QFT}\vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^N}}(\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2} \vert 1 \rangle) \otimes ... \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2^N} \vert 1 \rangle).$$
Если вы ищете дополнительные знания и комфорт с QFT, это отличное упражнение, чтобы убедить себя, что и то, и другое $\vert n \rangle$ а также $\vert \tilde n \rangle$ ортонормированные базы для $\mathbb{C}^{2^N}$. Еще одно отличное упражнение - убедить себя, что$$QFT = \frac{1}{\sqrt{2^N}} \sum_{n=0}^{2^N-1} \, \sum_{\tilde n=0}^{2^N-1}e^{2 \pi i n \tilde n/2^N} \vert \tilde n \rangle \langle n \vert$$ является унитарным оператором на $\mathbb{C}^{2^N}$. (Обратите внимание, что достоверность любого из утверждений в этих двух упражнениях подразумевает достоверность другого.)
Если вы примените $n$-кубит QFT определяется как $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k = 0}^{N - 1}\sum_{n = 0}^{N - 1}a_n e^{2 \pi i n k/N}\left|k \right>$ действуя на государство $\sum_{x = 0}^{N - 1}a_x\left|x\right>$ с участием $N = 2^{n}$ на волне греха с частотой $k$ определяется как $\frac{1}{2^{(n - 1)/2}}\sum_{x = 0}^{N -1}\sin(\frac{2 \pi x k}{N})\left|x\right>$ с участием $n > 1$ а также $k \neq 0$ чтобы избежать только нулевых значений, результат будет $\frac{i}{\sqrt{2}}\left|k\right> - \frac{i}{\sqrt{2}}\left|N - k\right>$. Это интуитивно соответствует обычному преобразованию Фурье, которое дает$\frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega - 2 \pi k) - \frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega + 2 \pi k)$ для $sin(2 \pi kx)$ при использовании формы современной физики ($\hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega t}dt$) и с $\omega$обозначающая частоту. С другой стороны, волна$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x = 0}^{N - 1}e^{-2 \pi x k/N}\left|x\right>$ который объединяет реальную косинусоидальную волну с воображаемой синусоидальной волной, гораздо естественнее преобразуется непосредственно в $\left|k\right>$.
Соответствие «временной переменной» в QFT - это не время, а скорее вычислительные базисные состояния, но отношения между двумя базисами аналогичны отношениям времени и частоты. Если вы возьмете$N$ равномерно расположенные точки на сложном единичном круге, которые вместе проходят через весь круг ($e^{-2\pi i x/N}$ для $x$ из $0$ к $N - 1$ проходит по часовой стрелке), то с амплитудой вероятности $a_k$ каждая частота $k$ соответствует $\frac{a_k}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N - 1}e^{-2 \pi i x k /N}\left|x\right>$: интуитивно понятная ссылка на традиционную «частоту» - это то, сколько раз комплексный единичный круг полностью обведен, когда вы проходите через базовые состояния. Их сумма для всех частот, как обычно, возвращает исходное состояние.