Как рассчитать расстояние $k=0$ код стабилизатора?
Это можно рассматривать как продолжение вопроса « Как рассчитать расстояние кода стабилизатора? ». Обобщая принятый ответ: расстояние - это минимальный вес комплекта.$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ где $S$ - группа стабилизаторов (порожденная $K_n$в предыдущем вопросе), и $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ является его нормализатором в группе порядка Паули $2^{2N+1}$ (где $N$= количество кубитов; используя реальную версию группы здесь).
Мой вопрос следующий: верно ли это для $k=0$коды стабилизатора? Я подозреваю, что это не всегда выполняется, но я не могу найти ссылку на него ... кажется, что он работает в большинстве случаев, но также легко найти несколько простых примеров счетчиков: возьмите состояние GHZ$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, с участием $K_1=X_1X_2$ и $K_2=Z_1Z_2$. В таком случае,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, поэтому набор $E$пусто. Что-то явно нарушается в этом процессе: думаю, что расстояние должно быть 2. Что здесь происходит?
Ответы
Обратите внимание, что в случае $k = 0$, код стабилизатора - это $2^0 = 1$мерное подпространство гильбертова пространства, то есть состоит из одного состояния стабилизатора. Это будет иметь несколько отрицательный эффект на такие функции, как «расстояние» кода.
«Кодовое расстояние» в конечном итоге определяется в терминах минимального веса оператора Паули. $E$ который не является «обнаруживаемым» (под этим я подразумеваю, отличимым от идентичности) в соответствии с условиями Книлла – Лафламма: $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ где $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$состояния в коде. В случае одномерного подпространства существует только одно состояние$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. Таким образом, мы бы взяли$j,k \in \{ 0 \}$, таким образом $\delta_{j,k}$ срок всегда равен $1$. Но это означает, что просто определив$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, условие Книлла – Лафламма всегда выполняется. Таким образом, «расстояние» кода определяется для$k = 0$ код стабилизатора как минимум по пустому набору.
Используя менее абстрактный подход для кодов стабилизатора, учитывающий веса операторов Паули, которые находятся в нормализаторе кода, имейте в виду, что мы говорим тогда об операторах, которые отображают кодовое пространство на себя, но не пропорциональны член группы стабилизатора. Но для$k = 0$ операторы, отображающие состояние $\lvert \psi \rangle$к себе обязательно пропорциональны стабилизаторам, поэтому такого оператора не существует. Опять же, мы рассматриваем минимальный вес над пустым набором операторов.
Согласно вашим соглашениям, возможно, было бы разумно говорить о бесконечности расстояния ; но на практике лучше сказать, что расстояние не определено.
В классической бумаге https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, на странице 10, расстояние $[n,0]$код определяется как наименьший ненулевой вес любого стабилизатора в коде. Физическая интерпретация данного определения такова:$[[n, 0, d]]$ код - это квантовое состояние, такое, что при декогеренции $[(d − 1)/2]$ координаты, можно точно определить, какие координаты были декодированы ».