Как с помощью характеристической функции доказать, что сумма двух распределений Гаусса также является распределением Гаусса [дубликат]

Question

Пусть X и Y два $ \mathcal{N}(0, 1) $раздачи. Я должен доказать это для$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ равно $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.

Я пытаюсь сделать это, используя характеристическую функцию распределения Гаусса. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$

Я действительно не знаю, что делать, поскольку, изменив переменную, я не могу заменить и x, и y. Есть предложения?

Answer 1

Позволять $Z=aX+bY$. Характеристическая функция$Z$ является:

$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$

РЕДАКТИРОВАТЬ (Небрежная ошибка ...) Если X и Y независимы:

$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,

где $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$- характеристическая функция нормального распределения. Так,

$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,

которая является характеристической функцией нормального распределения $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.