Как создать матрицу mxn с определенным рангом в Matlab?

Question

Я хочу создать m by nматрицу с рангом k.

Как Aэто 8 × 8с рангом 5или Bнаходится 4 × 6в ранге 4.

Поэтому я пытаюсь написать функцию в MATLAB, как показано ниже.

Моя мысль:

1. сгенерировать mпо nнулям матрицу
2. генерировать mпо nматрице и преобразовывать ее в сокращенную форму эшелона строк
3. присвоить ранг 2-й матрицы num
4. если num = k, то присвоить выходу текущую матрицу
5. прервать итерацию

function output = check_rank(m,n,k)
    while 1
        output = zeros(m,n);
        matrix = randi(20,m,n);
        tmp = rref(matrix);
        num = rank(tmp);
        if (num == k)
            output = matrix;
            break;
    end
    disp(output);    
end
A = check_rank(8,8,4)

Результатом является бесконечный цикл, и все ответы представляют собой 6x6матрицу нулей: Вывод командного окна

---

Я также пробовал метод создания матрицы ранга k с помощью Matlab?

A = zeros(8,8);
for i = 1:4, A = A + randn(8,1) * randn(1,8); end
A
rank(A)

Он может достичь моей цели, но я понятия не имею, как он работает успешно?

Спасибо, @anonymous!

Answer 1

Если вы хотите сгенерировать случайную матрицу с указанным рангом, вы можете попытаться создать пользовательскую функцию, как показано ниже

function [Y,rk] = fn(m,n,k)
  P = orth(randn(m,k));
  Q = orth(randn(n,k))';
  Y = P*Q;
  rk = rank(Y);
end

где Pи Q- унитарные матрицы. Y- это сгенерированная матрица со случайными значениями, rkпомогающая проверить ранг.

---

пример

>> [Y,rk] = fn(8,6,5)
Y =

   3.8613e-02   7.5837e-03  -7.1011e-02  -7.0392e-02  -3.8519e-02   1.6612e-01
  -3.1381e-02  -3.6287e-02   1.4888e-01  -7.6202e-02  -3.7867e-02   3.2707e-01
  -1.9689e-01   2.2684e-01   1.2606e-01  -1.2657e-03   1.9724e-01   7.2793e-02
  -1.2652e-01   7.7531e-02   1.3906e-01   3.1568e-02   1.8327e-01  -1.3804e-01
  -2.6604e-01  -1.4345e-01   1.6961e-03  -9.7833e-02   5.9299e-01  -1.5765e-01
   1.7787e-01  -3.5007e-01   3.8482e-01  -6.0741e-02  -2.1415e-02  -2.4317e-01
   8.9910e-02  -2.5538e-01  -1.8029e-01  -7.0032e-02  -1.0739e-01   2.2188e-01
  -3.4824e-01   3.7603e-01   2.8561e-02   2.6553e-02   2.4871e-02   6.8021e-01

rk = 5

Answer 2

Вы можете легко использовать eyeфункцию:

I = eye(k);
M = zeros(m,n);
M(1:k, 1:k) = I;

rank(M)Равно k.