Как $\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$ следует из теоремы о монотонной сходимости?

Question

В «Реальном и комплексном анализе» Рудина он говорит, что равенство

$$\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$

за $a_{i,j} \ge 0$ следует из этого следствия теоремы о монотонной сходимости (через счетную меру на счетном множестве):

Если $f_n: X \to [0, \infty]$ измеримо и $f = \sum f_n$, тогда

$$\int_X f =\sum_{n=1}^\infty \int_X fn $$

Однако мне трудно это понять. Я предполагаю, что вы используете индикаторные функции для каждой точки в счетном наборе, но я не вижу никаких очевидных манипуляций, чтобы это стало правдой. Любая помощь будет оценена по достоинству.

Answer 1

Позволять $X=\mathbb N$ и $S$ быть мощным набором $X$. Позволять$\mu$ быть мерой подсчета $X$. [$\mu(E)$ количество точек $E$ который считается $+\infty$ если $E$ бесконечное множество].

Для любой функции $g: X \to [0,\infty)$ у нас есть $\int g d\mu= \sum\limits_{k=1}^{\infty} g(k)$.

Теперь возьми $f_n(j)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$. потом$f_n$ увеличивается до функции $f$ определяется $f(j)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$. Следовательно$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$. Это дает$\lim_n \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}=\lim_n \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}=\lim_n \int f_n d\mu=\int f d\mu=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$.