Как упростить дробь $ \frac { r } {1 + (1/(1+(1/x)))} $

Question

Это упрощение:

$$ \frac {r (1 + x)} {1 + 2x} $$

но я не понимаю, как можно прийти к упрощенной формуле из:

$$ \frac { r } {1 + (1/(1+(1/x)))} $$

Я пробовал перемножать обратные и умножать всю дробь на какое-то другое значение, но ничего не решаю для упрощенного ответа. Было бы очень признательно, если бы кто-то мог провести меня через процесс или намекнуть в правильном направлении.

Answer 1

$$ \cfrac r {1 + \cfrac 1 {1 + \cfrac 1 x}} $$ Сначала сконцентрируйтесь на той части, которая появляется в $\Big($скобки$\Big)$ ниже: $$ \cfrac r {1 + \left( \cfrac 1 {1 + \cfrac1x}\right) } $$ Во фракции $\cfrac 1 {1 + \cfrac1x},$ если умножить числитель на $x$ ты получаешь $x.$ Знаменатель - это два члена: $$ 1 + \frac 1 x. $$ Умножая первый член на $x$ дает $x;$ умножая второй член на $x$ дает $1$ так как $x$s отменить. Тогда у вас есть$$ \cfrac r {1 + \left( \cfrac x {x+1} \right)}. $$ Далее мы умножим числитель и знаменатель на $x+1.$ В числителе это дает $r(x+1).$ В знаменателе два члена: $$ 1 + \frac x {x+1}. $$ Умножая первый член на $x+1$ дает $x+1.$ Умножая второй член на $x+1$ дает отмену, чтобы вы просто получили $x.$ Тогда знаменатель будет $$ (x+1) +x. $$ Упростите это до $2x+1.$ Тогда у вас есть $$ \frac{r(x+1)}{2x+1}. $$

Answer 2

$\dfrac r {1+\dfrac1{1+\frac 1x}}=\dfrac r{1+\dfrac x{x+1}}=\dfrac r {\left(\dfrac{2x+1}{x+1}\right)}.$

Вы можете взять это отсюда?

Answer 3

Начните с создания выражения изнутри. Построим последовательно и просто выражение в следующей последовательности:

• Первое: упростить $1+(1/x)$
• Второй: $1/(1+(1/x))$ путем упрощения $1/(\textrm{first result})$
• В третьих: $1+(1/(1+(1/x)))$ путем упрощения $1+\textrm{ second result}$
• Четвертый: $\dfrac{r}{1+(1/(1+(1/x)))}$ путем упрощения $r/(\textrm{third result})$

Вот так: $$1 + (1/x) = 1 + \frac1x = \frac xx + \frac1x = \frac{x+1}x\tag{first}$$ Обратите внимание, что для сложения дробей нам нужно было получить общий знаменатель. $$1/(1+(1/x)) = \frac{1}{1+(1/x)} = \frac{1}{\frac{x+1}x} = \frac 11\cdot \frac{x+1}x= \frac x{x+1}\tag{second}$$Обратите внимание, что мы разделили дроби выше, вместо этого перевернув делитель и умножив. Мы также создали дробь, указав неявный знаменатель$1$ если нет. $$1+(1/(1+(1/x))) = 1 + \frac x{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac x{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}\tag{third}$$ Опять же, нам нужно было получить общий знаменатель, чтобы складывать дроби. $$\dfrac{r}{1+(1/(1+(1/x)))}=\frac r{\frac{2x+1}{x+1}}= \frac r1\cdot\frac{x+1}{2x+1} = \frac{r(x+1)}{2x+1}\tag{fourth}$$И снова мы выполняем деление, переворачивая делитель и умножая вместо него; и мы предоставили неявный знаменатель$1$ где нужно.

Answer 4

$$\begin{align}\frac{r}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}&=\frac{r}{1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}}}\\&= \frac{r}{1+\frac{x}{x+1}}\\&=\frac{r}{\frac{x+1+x}{x+1}}\\&=\frac{r}{\frac{2x+1}{x+1}}\\&=\frac{r(x+1)}{2x+1} \end{align}$$