Как вы «читаете» эту функцию?

Question

Я пытаюсь понять доказательство, в котором вам нужно создать инъективную функцию $g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$ ($ℕ^ℕ$ это набор всех функций из $ℕ$ к $ℕ$), и моя книга определяет это так:

Я понимаю (очевидно) ту часть, в которой говорится $0.101001000..$ но я не понимаю формулы для $a_n$. Где сказано "для некоторых$k≥1$"означает ли это, что я должен определить $k$ перед применением этой формулы, иначе мне нужно вычислить изменяющиеся значения$k$ через некоторое время?

Я попытался получить тот же номер, который они получили для функции идентификации ( $0.10100..$), но я не могу понять, как они его получили по формуле:
Использование функции идентичности$i(n)=n$, с участием $k=2$ условие "если $n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$ станет $2+f(i(0))+f(i(1))$ но как мне узнать, какие ценности $f(0)$, $f(1)$ и т.д. есть?

Не могли бы вы, ребята, вычислить это число, которое они получили, используя функцию идентичности по этой формуле?

Спасибо!

Answer 1

Скорее всего, они напортачили и использовали $i$для двух совершенно разных вещей. например означает, например, так$i()$ это простой пример для $f()$ но они использовали $i$как индекс и как имя функции. Плохой человек. Заменить$i$ когда он используется для имени функции, идентификатора, строк 4, 8 и 11, например $d$ и прочитай еще раз.

Выражение для $a_n$ненужно сложно, добавляя путаницы. Это просто говорит, что есть$f(0)+f(1)+...+f(m)$ нули плюс $m$ $1$перед каждым $1$в расширении. Это логическая инверсия, из-за которой очень простые вещи кажутся настолько математическими, что вы можете найти в гораздо более серьезных местах. Извините за пытки ».

$f(0)$,$f(1)$- значения одной выбранной функции. Итак, в этом абзаце объясняется, как сопоставить функцию с действительным числом. Это означает, что для любой функции создайте это отображение.

Answer 2

Предложение «Как узнать, какие значения $f(0)$, $f(1)$и т. д., есть? "показывает, что есть некоторое недопонимание: $f$будет дано вам. Это «точка» с бесконечным множеством координат.$\bigl(f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $\ldots\bigr) $. Теперь вам нужно закодировать эту точку в двоичную строку, из которой все координаты$f(i)$можно будет получить позже. Кажется, вы поняли идею конструкции, продемонстрированную в примере.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти «математическое» описание идеи конструкции. Данное описание более-менее передает идею, но предполагается, что читатель уже знает, что происходит. Я бы сделал это следующим образом: Учитывая$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$, определить числа $n_k$ $(k\geq1)$ следующим образом: $$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$ и положи $$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$