Как вы оцениваете $\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$
Этот интеграл выскочил , когда пытаюсь решить это . Я не знаю, можно ли найти общее решение для
$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$
где $n\in\mathbb{N}$. WolframAlpha может решить интеграл для$n=1,2,3$, но тогда время вычислений заканчивается. Можно заменить$u = \arcsin(x)$ и $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$
WolframAlpha использует некоторые тригонометрические тождества для решения случаев, когда $n=1,2,3$, но есть ли способ решить все $n\in\mathbb{N}$?
Ответы
Я знаю , что это не может помочь вам , как оценить, но Mathematica дает решение$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$ который также работает по крайней мере для некоторых дробных $n$. $\;_3F_2$использует обозначение обобщенной гипергеометрической функции . Право наиболее термин связан с Меллином из$\arcsin^2(x)$.
Решение Mathematica, вероятно, достигается за счет использования представления $\arcsin(x)$как функцию Мейера-G и решение общей формы для интеграла от пары функций Мейера-G . Наконец, преобразование результата обратно в гипергеометрическую функцию. Это общий алгоритм для символьного решения интегралов в целом, но трудно сказать наверняка, поскольку ваш интеграл также свернут со ступенчатой функцией Хевисайда.
Более вероятно, что вы можете написать свой интеграл как $\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$, т.е. преобразование Меллина произведения $\Theta(1-x)$ и $\arcsin^2(x)$, которые имеют представления Мейера-G $$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$ и $$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$ и воспользуемся уравнением $$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ или что-то подобное, поэтому компьютер - очень полезный инструмент, особенно для разделения результата на части с точки зрения гипергеометрической идентичности.
Альтернативное решение, избегающее специальных функций.
Иногда неопределенный интеграл можно получить, если составить анзац о решении, зависящем от некоторых неизвестных параметров, а затем путем дифференцирования можно получить правильное значение параметров.
Предположим, что для четных $n=2m$ решение имеет вид $$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$ где $P_m,Q_m$ являются полиномами степени $m.$ Тогда, дифференцируя, мы получаем тождество $$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$ Все термины должны исчезнуть, кроме $x^{2m}\arcsin^2(x)$, поэтому, разделив термины, содержащие $\arcsin(x)$ от других, и с положением $t=x^2,$ имеем два линейных дифференциальных уравнения первого порядка: $$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$из которых нам не нужны и не нужны общие решения, содержащие квадратные корни, а только уникальные частные полиномиальные решения. Найдя эти решения, легко увидеть, что значение определенного интеграла равно$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$
Аналогичным образом для нечетных $n=2m+1$, мы полагаем $$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$ и переходя непосредственно к полученному дифференциальному уравнению, они равны $$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ (из первого из них мы также получаем $k=Q_m(0)$).
Опять же, мы ищем полиномиальное решение, и как только оно найдено, мы имеем$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$