Как вычислить двойной интеграл по незамкнутой поверхности?

Question

Позволять $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ и разреши $S$ быть поверхностью $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. Если$\hat{n}$ единица нормальная к $S$ и $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ потом $\alpha=?$

Мы не можем применить здесь теорему о расходимости Гаусса, поскольку поверхность S не замкнута. Как тогда действовать в этом вопросе? Пожалуйста помоги.

Answer 1

Обратите внимание, что граница поверхности - это кривая $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$По теореме Стокса, если две поверхности имеют одну и ту же границу, то интеграл ротора на обеих поверхностях будет одинаковым. Т.е.

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

обе ориентированы либо вверх, либо вниз.

Почему это облегчает жизнь? Во-первых, якобиан между$z=0$ самолет и обычный $xy$ координаты $1$ (Якобиан чего-либо от самого себя к самому себе есть $1$), а только вектор нормали указывает на $z$ направление, то есть нам не нужно даже вычислять весь локон, только $z$ компонент, который

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

Это дает нам следующее равенство

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ - нечетная функция, поэтому ее интеграл обращается в нуль на круге при $x$симметрия. Единственный оставшийся интеграл - это константа, которая просто дает нам площадь поверхности, умноженную на эту константу:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

Таким образом $\alpha =2$