Какая интуиция стоит за Bures и угловыми метриками?
Я читаю меры расстояния, чтобы сравнить реальные и идеальные квантовые процессы, и это объясняет мотивацию, лежащую в основе метрики Буреса и метрики угла.
Метрика Буреса определяется как:
$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$
Угловая метрика определяется как:
$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$
где $F(\rho,\sigma)$ это верность между $\rho$ и $\sigma$матрицы плотности. Он говорит, что мы можем понять такую мотивацию на чистых состояниях: мы бы увидели, что она исходит с обычного евклидова расстояния.
Если бы я сделал такие вычисления, я бы определил евклидово расстояние как:
$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$
Чтобы найти метрику Буре, я должен предположить $\langle X | Y \rangle \geq 0$.
Но почему это так? Например, если я считаю:
$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$
Я не могу изменить относительную фазу между $|a \rangle$ и $|b \rangle$ как я хочу (потому что это изменит физическое состояние $|\psi \rangle$). Таким образом, если$\langle a | b \rangle $ не является положительным числом, полагаю, я ничего не могу с этим поделать.
Как тогда понять интуицию, стоящую за такой метрикой? Должен ли я на самом деле рассматривать его как «абстрактное» определение, с помощью которого я проверяю, что оно удовлетворяет аксиомам метрики? Но было бы странно, как статья объясняет стоящую за этим мотивацию.
Аналогичный вопрос для угловой метрики.
[править]: Я думаю, это может быть связано с тем, что мы хотим определить расстояние между физическими состояниями. Учитывая$|\Phi \rangle$ и $| \Psi \rangle$два физических состояния, их глобальная фаза значения не имеет. Таким образом, чтобы иметь простую формулу, мы можем выбрать их фазы$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ так что $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ которые соответствуют верхней границе: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. Это как-то имеет смысл, потому что нас интересует расстояние между физическими и нематематическими состояниями. Таким образом, мы можем зафиксировать глобальные фазы двух состояний так, как захотим.
Имеет ли это смысл ?
Ответы
Заполнение ряда деталей для полного ответа -
Начиная с связанной статьи, Расстояние измеряет для сравнения реальных и идеальных квантовых процессов [arXiv: Quant-ph / 0408063] , определение верности дается в формуле. (4) как$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- что может показаться немного устрашающим, но демонстрирует две важные вещи о верности: что она в целом определяется операторами плотности (а не только векторами состояния), и что это всегда неотрицательное действительное число. Если вы хотите вычислить его для чистых состояний, приведенное выше определение будет эквивалентно$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ который всегда является неотрицательным действительным и, в частности, не зависит от каких-либо глобальных фаз, которые вы могли бы рассмотреть для любого состояния $\lvert \psi \rangle$ или же $\lvert \phi \rangle$ (что не является физической информацией о состоянии).
Тогда метрика Буреса (из второго столбца на странице 4) $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ что для чистых состояний упрощается до $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ где максимум берется по единичным векторам $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ и $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.
Вы спрашиваете (небезосновательно), почему для чистых состояний вы берете абсолютное значение $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$, вместо реальной части $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ как если бы вы имели дело непосредственно с внутренними продуктами векторов $\lvert \psi \rangle$ и $\lvert \phi \rangle$. Ответ заключается в том, что, поскольку нас интересуют состояния, а не конкретные векторы, которые представляют эти состояния, работа напрямую с векторами состояний не обязательно даст разумный ответ. Для государства$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$, значения $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ и $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ обычно не то же самое - но используем ли мы $\lvert \phi' \rangle$ или же $\lvert \phi \rangle$Представление состояния должно быть чисто произвольным выбором, не влияющим ни на физику, ни на наш анализ физики. Любой выбор формулы должен быть стабильным при таком произвольном выборе, и, кроме того (для метрики) должен давать значение$0$ если бы мы рассмотрели разные способы $\lvert \phi' \rangle$ и $\lvert \phi \rangle$ представлять одно и то же состояние.
Имейте в виду, что, в конце концов, их замечание об упрощении до евклидовой метрики, скорее всего, было быстрой попыткой дать интуицию, а не серьезной попыткой предоставить формальное утверждение. Однако в некотором смысле принятие абсолютного значения (или, если хотите, максимального внутреннего продукта среди эквивалентных состояний вплоть до глобальных фаз) является правильным подходом к рассмотрению связи с «евклидовым расстоянием» между «состояниями», и Я полагаю, что они имеют в виду именно это.