Какая матрица логарифма производного оператора ( $\ln D$)? Какую роль играет этот оператор в различных математических областях?

Question

Бабуши и Даттоли, О логарифме оператора производной , arXiv: 1105.5978 , дают отличные результаты:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Интересно, какова его матрица или есть ли способ ее применения к функции?

Какова его интуитивная роль в различных областях математики?

Answer 1

После преобразования Фурье $x\mapsto k$, это становится диагональным оператором с матричными элементами $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Итак, чтобы найти матричные элементы в$x$-представление нам нужно было бы инвертировать преобразование Фурье логарифма $\ln k$. Из этого ответа MSE для преобразования Фурье$\ln |k|$ (со знаками абсолютного значения) Я бы пришел к выводу, что $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

Это обозначение означает, что $\ln D$ действующий на функцию $f(x)$ производит новую функцию $g(x)$ дано $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

Answer 2

Интерпретация $\ln(D)$ зависит от интерполяции, которую выбирают из обычного оператора производной и его положительных целочисленных степеней к оператору дробной интегро-производной (FID), то есть интерпретации $D$экспоненциально выражается любым действительным числом (или комплексным числом посредством аналитического продолжения), которое, в свою очередь, зависит от функций, на которые должен действовать FID. Описанное ниже расширение создает три идентичности B&D и согласуется со свойствами, которые Пинчерли наложил на любое допустимое семейство FID (см. Этот MO-Q на производной 1/2 и этот MO-Q на дробном исчислении ). Его можно определить действием на «базисном наборе» целых функций в комплексной переменной.$\omega$ как

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

где $H(x)$ - ступенчатая функция Хевисайда, а $\alpha$ и $\omega$ могут быть любыми комплексными числами с обычным отождествлением в теории обобщенных функций и распределений

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

с $n=0,1,2,3,...$.

Обратите внимание, что это не имеет ничего общего с преобразованием Фурье по реальной линии или любым псевдодифференциальным оператором / символом, связанным с ним. В частности,$D^{\alpha}$ здесь НЕ связано с умножением на $(i 2 \pi f)^{\alpha}$в частотном пространстве. В другом месте я показываю различные эквивалентные сверточные повторения этого FID как 1) FT над окружностью посредством преобразования регуляризованного комплексного контурного интеграла Коши, 2) аналитическое продолжение интегрального rep бета-функции Эйлера либо через раздутие в комплексная плоскость интеграла по действительному отрезку прямой или регуляризация через конечную часть Адамара или через контур Похгаммера, 3) интерполяция Меллина стандартного оператора производной через действие производящей функции$e^{tD_x}$, операторное приложение основной формулы Рамануджана, или 4) интерполяция функции sinc / кардинального ряда обобщенных биномиальных коэффициентов.

Давайте посмотрим, насколько жизнеспособно приведенное выше определение FID; его связь с бесконечно малым генератором (infinigen) FID и тремя тождествами B&D; связь с формализмом полиномиальных последовательностей Аппелла Шеффера и, следовательно, симметричной теорией полиномов / функций; и матричные представители бесконечного числа и FID.

Если предположить, что бесконечно малый генератор $IG$ существует такое, что

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

затем формально

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

и infinigen - это

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

где $\psi(x)$ - дигамма-функция, которая может быть определена на комплексной плоскости как мероморфная функция и тесно связана со значениями дзета-функции Римана в $s = 2,3,4,...$.

Некоторые представители (идентифицирующие себя так же, как в B & D)

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

где $\lambda$ связана с постоянной Эйлера-Машерони через $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.

Другие повторения и другие способы достижения указанных выше повторений приведены в ссылках ниже.

Давайте рассмотрим способ с помощью формализма полиномиальных последовательностей Аппелла Шеффера, который решает любые проблемы сходимости при возведении в степень явной дифференциальной формулы для бесконечного числа и допускает связи с теорией симметричных многочленов / функций.

Соответствующая последовательность многочленов Аппеля $p_n(z) = (p.(z))^n$ имеет экспоненциальную производящую функцию, целую в комплексной переменной $t$, т. е. с глобально сходящимся рядом Тейлора,

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

с обратной полиномиальной последовательностью, определенной четырьмя последовательными способами $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, egf,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, через нижние треугольные матрицы коэффициентов двух последовательностей в мономиальном степенном базисе $z^n$ с единичной диагональю,

3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, темная сверточная инверсия,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, исправный генератор.

Отсюда следует, что повышение op многочленов Аппеля $p_n(z)$ определяется

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

дан кем-то

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

операторное сопряжение, или `` калибровочное преобразование '' поднимающего оператора $z$ для степенных одночленов.

Кроме того, с операторным коммутатором $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

Теперь вернемся к Пинчерле и одноименной производной оператора, которую Рота рекламировал для исчисления конечных операторов. Производная Грейвса-Пинчерле получает свою мощность из коммутатора Грейвса-Ли-Гейзенберга-Вейля$[D_z,z] = 1$ из которого при обычном переупорядочивании следует, что для любой функции, выраженной в виде степенного ряда в $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

Это аватар производной Пинчерле (PD), которая следует из действия $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

но PD действителен для более общих операций по спуску и поднятию (лестнице), которые удовлетворяют $[L,R]= 1$.

потом

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

С заменой $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

Операция повышения определяется так, что

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

целая функция для $t$сложный; следовательно,

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

так

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

и мы можем определить, что действительно

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

и

$$IG = \ln(D_x).$$

Теперь примените PD к $\ln(D)$, как проверка формализма и путь к представлению матрицы, формально давая

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

Это придается явный смысл, вычисляя коммутатор для общей функции $g(x)$ аналитический в начале координат (который обобщается на наш «базисный» набор) с использованием интеграла rep для $R_x = -\ln(D_x)$, давая

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

Итак, у нас есть

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

и

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

подразумевая

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

Кроме того, с

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

потом

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

где

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

Конечно-разностный операционный ряд вкладывается в производную $D_{\alpha =0}$из интерпол Ньютона

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

Для $\alpha = -m$ с $m = 1,2,...$ и $\omega = 0$, этот интерполятор Ньютона дает

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

что в распределительном смысле согласуется с полиномиальными резольвентами Лагерра $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$в формулах этого МО-Q, поскольку с$c_n = f_n$ в обозначениях там,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

с

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

Итак, для $m$-я производная функции Хевисайда,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

и, следовательно, коэффициенты разрешения ряда Лагерра $m$-я производная функции Хевисайда равны

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

в соответствии с интерполятором Ньютона.

Применение $D_x^{-1}$ итеративно к обеим сторонам этого тождества устанавливает сходящиеся интерполяции для $\omega = 1,2,3,...$, и действуя на основе степеней в пределах биномиального разложения $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ должны также давать сходящиеся выражения.

Аналогично для $\omega=0$, у нас есть преобразование Лапласа (или, точнее, модифицированное преобразование Меллина, лежащее в основе основной формулы Рамануджана, с помощью которого FID могут быть преобразованы в интерполяцию Меллина стандартных производных),

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

для $Re(\alpha) > -1$, давая

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

Это преобразование Лапласа и, следовательно, интерполятор Ньютона могут быть аналитически продолжены несколькими стандартными способами (например, раздутие от вещественной прямой к комплексной плоскости через контур Ганкеля , конечную часть Адамара ) на полную комплексную плоскость для$\alpha$. Для отрицательных целочисленных показателей контур Ганкеля сжимается до обычного контура Коши rep для дифференцирования. Подход Адамара с конечными частями позволяет соответствующим образом модифицировать интерполятор Ньютона полоса за полосой для получения желаемых результатов.

Возвращаясь к конечной разностной репутации для $\ln(D_x)$, тогда действие бесконечного числа на 1 дает для $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

где $L_n(x)$ являются полиномами Лагерра, что согласуется с первым уравнением B и D в вопросе.

Графики результатов оценки операторного ряда, усеченного на $n=80$или около того, действуя на $x^2$ и $x^3$ совпадают с аналитическими результатами.

Матрица rep $M$ действия этой интеграции op $D_x^{-1}$ на $x^n$ достаточно проста по степенному базису - матрица со всеми нулями, кроме первой поддиагонали, или наддиагональ, в зависимости от умножения левых или правых матриц, с элементами $(1,1/2,1/3,...)$.

Матрица rep для $R_x$ затем

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

Возбуждающий,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

Соответствующая матрица rep:

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(Я не проверял эти вычисления матриц численно, как обычно, поскольку мой диск MathCad находится в хранилище в другом состоянии.)

Чтобы действовать на нецелые степени $x$, вы должны представить их как суперпозицию базиса целочисленной мощности, как в биномиальном разложении

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

Или вернитесь к $z$ rep и запишите матрицу rep поднимающей операции $R_z$. Это простое преобразование бесконечной нижнетреугольной матрицы Паскаля, дополненной первой из всех наддиагоналей. В OEIS A039683 есть пример матричного эквивалента операции возведения в базисе мономиальной мощности, также известной как производственная матрица в другом подходе (Риордан?) К полиномиальным последовательностям. Лучше в этом случае перейти на принцип разделенной мощности.$z^n/n!$. Тогда расширенная матрица Паскаля становится простой матрицей суммирования всех единиц. Умножим по n-й диагонали на$c_n$ где $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ чтобы сгенерировать матрицу rep для повышения op, но поскольку, например, $x^2=e^{2z}$, этот алгоритм быстро становится беспорядочным по сравнению с методом конечных разностей rep.

---

Дополнительные ссылки (не исчерпывающие):

1. Дзета Римана и дробное исчисление, МО-Q
2. Функция Digamma / Psi, Wiki
3. OEIS A238363 в журнале производной оператора
4. OEIS A036039 о полиномах индекса цикла и симметричных функциях
5. Дзета-функции и полиномы индекса цикла, MO-Q
6. На повышении для FIDs, MSE-Q
7. OEIS A132440 на бесконечной матрице
8. OEIS A263634 о представителях полинома разбиения для операций по подъему аппеля
9. Ссылка для другой интерполяции журнала производной, PDF
10. Интерполяция / аналитическое продолжение факториалов к гамма-функции, MSE-Q
11. Повышение оперативности для последовательностей Аппеля, сообщение в блоге
12. Пример интерполяции Меллина $e^{tD}$, MO-Q
13. Подробнее об интерполяции / аналитическом продолжении дифференциальных операций, сообщение в блоге
14. Два аналитических продолжения коэффициентов производящей функции MO-Q
15. FID и конфлюэнтные гипергеометрические функции, MO-Q
16. Заметка о производной от Пинчерле, сообщение в блоге
17. FID и интерполяция биномиальных коэффициентов, сообщение в блоге
18. FID, интерполяция и бегущие волны, сообщение в блоге