Какова история использования термина «ко-домен»?
Мне интересно, знает ли кто-нибудь больше об истории термина «ко-домен», когда он относится к функциям.
Я нашел два источника:
Рассел и Уайтхед, Principia Mathematica, 1915, стр. 34:
класс всех терминов, к которым то или иное имеет отношение $R$называются обратный доменом из$R$; это то же самое, что и область обратного$R$.
Кассиус Кейзер, Математическая философия, 1922, стр. 168:
отношение $R$имеет то, что называется областью , - класс всех терминов, каждый из которых имеет отношение к тому или иному, - а также codomain - класс всех терминов, для которых, учитывая любой из них, что-то имеет отношение к нему.
Мне кажется, что, когда Кейсер говорит о «кодомене», он имеет в виду то же самое, что и «обратный домен» Рассела и Уайтхеда. Итак, похоже, что мы перешли от «обратного домена» к «codomain» .... к «co-domain»? В этом есть смысл.
Кроме того, оба текста говорят об отношениях, а не о функциях. Но, конечно, функция - это особый вид отношения. Так что ... это все еще имеет смысл.
Однако! (и именно поэтому я задаю этот вопрос): то, как в этих двух текстах говорится о «обратном домене» и «кодомене» (применительно к функциям), мы в настоящее время называем «диапазоном» или «изображением» функция, а не то, что мы сейчас называем ее «ко-доменом».
Конкретный пример:
Возьмите функцию $f$ чей домен определяется как $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, ко-домен которого определяется как $\mathbb{R}$, и чье отображение определяется как $f(x) =1/x$.
Для этой функции диапазон или изображение $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, и это то, что (опять же, если мы рассматриваем эту функцию как отношение) Russell & Whitehead рассматривали бы ее «обратный домен», который Кейсер назвал бы своим «codomain».
Но «ко-домен» этой функции был определен как $\mathbb{R} - \{ 0 \}$
Я думаю, что произошел сдвиг в использовании этого термина ... То есть, похоже, что мы получили:
'converse domain' -> 'codomain' -> 'range'
... в то время как «ко-домен» - это совсем другое!
Это странно! Что случилось? Есть ли у кого-нибудь представление об этом?
Ответы
Это раннее признание двойственности в теории множеств. Домен против кодомена предполагает связь, которая отсутствует в домене и диапазоне.
Это скрыто в теории множеств, поскольку функции смещены в том смысле, что они не определены симметрично. Нелегко также концептуализировать одну ко многим функциям естественным образом и двойственно к функциям многие к одному, что они и делают естественным образом.
Это зафиксировано в теории категорий, где двойственность делается явной, а не тайным, скрытым образом, как это делается в теории множеств. Более того, теория категорий - это правильная концептуализация ковариантности, как в понятии общей ковариантности, которое Эйнштейн эвристически использовал в своих исследованиях общего характера физического закона.
Интересно, что одно из главных открытий теории струн - это роль, которую дуальности играют в физике. (В обычной физике мы видим, что двойственность проявляется в двойственности электрического и магнитного полей). Меня не удивило бы, если бы это имело тот же корень, что и дуальности в теории категорий.