Каковы эллипсоиды Джона для пары (9- и 15-мерных) выпуклых множеств $4 \times 4$ положительно определенные матрицы?
Что такое эллипсоиды Джона ( JohnEllipsoid ) для 9- и 15-мерных выпуклых множеств ($A,B$) из $4 \times 4$положительно-определенные симметричные (эрмитовы) матрицы след-1 (на квантово-информационном языке, наборы «двухребитовых» и «двухкубитных» «матриц плотности» [ DensityMatrices ] соответственно)? (Являются ли эти тела "центрально-симметричными" в смысле одного из аспектов основной теоремы Джон Теорема ?)
Далее, каковы отношения (пересечения,…) этих эллипсоидов с важными выпуклыми подмножествами $A$ и $B$ состоящий из тех матриц, которые остаются положительно определенными при (не полностью положительной) операции частичного транспонирования, посредством которой четыре $2 \times 2$ блоки $4 \times 4$матрицы переносятся на место? (Было установлено [ MasterLovasAndai ], что доли евклидова объема, занятые этими выпуклыми подмножествами «PPT» [положительно-частичное транспонирование / разделение / неперепутывание], являются$\frac{29}{64}$ за $A$ и $\frac{8}{33}$ за $B$.)
Кроме того, каково дальнейшее отношение этих эллипсоидов к «вдохновляющим» (максимальным шарам, вписанным в $A$ и $B$[ SBZ ])? Вдохновители также лежат в наборах PPT. Могут ли эллипсоиды Джона и вдохновители просто совпадать?
Кроме того, какими могут быть сами эллипсоиды Джона для этих наборов PPT?
Существует интересная концепция «эллипсоида рулевого управления», упоминаемая в следующей цитате с. 28 [SteeringEllipsoid] :
Для двухкубитовых состояний, нормализованные условные состояния Алиса может направлять систему Боба, чтобы сформировать эллипсоид внутри сферы Блоха Боба, называемый управляющим эллипсоидом (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014). ).
Однако «сфера Блоха» трехмерна, поэтому управляющий эллипсоид двухкубитового состояния не может быть (15-мерным) эллипсоидом Джона, запрошенным выше.
Конечно, вопрос, что такое эллипсоиды Джона, можно задать для выпуклых множеств $m \times m$ симметричный и $n \times n$ Эрмитовы (положительно определенные, след 1) матрицы плотности ($m,n \geq 2$). За$m,n=2$, ответы кажутся тривиальными, а именно сами выпуклые множества. За$m,n =3$, возможно, нетривиально. Однако только для составных значений$m,n$, есть ли у нас дополнительные вопросы относительно выпуклых подмножеств PPT-состояний.
Статья в Википедии,
содержащаяся в первой гиперссылке выше, описывает «вписанный эллипсоид максимального объема как внутренний эллипсоид Лёвнера – Джона».
[ DensityMatrices ]: Slater - Краткая формула для обобщенных двухкубитовых вероятностей разделимости Гильберта – Шмидта
[ JohnTheorem ]: Говард - Теорема об эллипсоиде Джона
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai и эквивалентные формулы, проверяющие$\frac8{33}$ вероятность разделимости двух кубитов Гильберта – Шмидта и сопутствующие рационально-значные гипотезы
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson, and yczkowski - О структуре тела состояний с положительным частичным транспонированием
[ SteeringEllipsoid ]: Уола, Коста, Нгуен и Гюне - квантовое управление
Ответы
Начнем с двух явно релевантных формул. Первый - для объема$k$-мерный эллипсоид [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ], \ begin {формула} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)}, \ end {формула}, где$a_i$'s - длины полуосей.
Другой - для объема набора $m \times m$симметричные положительно определенные матрицы следа 1 [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {уравнение} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ right)} {м! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)}. \ end {уравнение}
По делу («два ребита») $m=4$ ($k=9$), представляющий непосредственный интерес, формула дает \ begin {Equation} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ приблизительно 0,0016106. \ end {уравнение}
Итак, вопрос, представляющий особый интерес для нас, заключается в том, какая часть этого объема занимает внутренний эллипсоид Лоунера-Джона для выпуклого множества указанного 9-мерного множества $4 \times 4$(плотности) матрицы. Далее, какова его величина по сравнению с$\frac{29}{64}$, доля, установленная Ловасом и Андаем для разделимости - то есть PPT - вероятности состояний с двумя ребитами? Кроме того, по сравнению с объемом вдохновения (для которого у нас нет текущих расчетов).
Итак, чтобы подойти к этим вопросам, мы сгенерировали пары случайно сгенерированных «матриц плотности с двумя ребитами» (sec, 4, RandomDensityMatrices ), используя методы ансамбля Ginibre. Затем мы взяли абсолютные значения их разностей и разделили на 2. Девять независимых элементов (три диагональных и шесть верхних недиагональных) результирующей матрицы были взяты в качестве полуосей.
На данный момент мы создали около шестнадцати миллионов таких пар. Пара$4 \times 4$ матрицы плотности, для которых мы нашли соответствующий максимальный объем эллипсоида, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (всего 0,0000432642 из $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), пока что \ begin {уравнение} \ left (\ begin {array} {cccc} 0,424772 & -0,147161 & -0,3345 & -0,177458 \\ -0,147161 & 0,164668 & 0,146384 & 0,0925659 \\ -0,3345 & 0,146384 & 0,29387 & 0,157489 \\ -0,177458 & 0,0925659 & 0,157489 & 0,11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {уравнение} и \ begin {уравнение} \ left (\ begin {array} {cccc} 0,135144 & 0,189631 & -0,03164 & 0,145386 \\ 0,189631 & 0,449171 & -0,180868 & 0,347037 \\ -0,03164 & -0,180868 & 0,126351 & -0,128246 \\ 0,145386 & 0,347037 & -0,128246 & 0,289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {уравнение} Половина абсолютных разностей для этих двух матриц трех первых диагональных элементов и шести верхних недиагональных элементов используется в качестве девяти полуосей в первой формуле, приведенной выше.
Отметим также, что существует альтернативный - но эквивалентный с точностью до определенных коэффициентов нормализации - подход к вычислению объемов $m \times m$матрицы плотности ( AndaiVolume ). Андай, однако, ограничил внимание$2 \times 2$ Эрмитовский случай и не дал явной альтернативы формуле объема Жичковского и Соммерса, представленной выше, поэтому на данный момент мы не уверены, какую форму она примет.