Каковы стандартные уравнения для изменения декартовых координат в $\mathbb{R}^2$?

Aug 17 2020

Я прорабатываю первый раздел книги Бутби « Введение в дифференцируемые многообразия» , и одно из упражнений гласит:

Используя стандартные уравнения для изменения декартовых координат, убедитесь, что $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, где $m_1, m_2$ - наклон двух прямых, не зависит от выбора координат.

Упоминается, что это также можно сделать, доказав, что его значение - это просто тангенс угла между двумя линиями, но я считаю, что упражнение не предназначено для выполнения таким образом.

Я не знаком со стандартными уравнениями для изменения декартовых координат. Похоже на смену координат в$\mathbb{R}^2$ было бы любым аффинным преобразованием, хотя я в этом не уверен.

У меня вопрос: каковы стандартные уравнения для изменения декартовых координат?

Ответы

J.G. Aug 18 2020 at 22:32

Поскольку градиенты инвариантны относительно сдвигов, мы можем предположить без ограничения общности, что две системы декартовых координат имеют одно и то же начало, и каждая линия проходит через это общее начало. Преобразование из координат$x,\,y$ координировать $X,\,Y$ удовлетворяет$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$для некоторых $\theta\in\Bbb R$. Если$y=mx$ и $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$В заключение,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$В заключение стоит отметить, что запрос Бутби на использование изменения декартовых координат не только дает нам больше работы, чем необходимо, но и делает конечный результат похожим на случайность. Нет. Письмо$m_1=\tan\theta_1$ и т.д., $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, поэтому результат следует из вращательной инвариантности углов на плоскости.

DanielN Aug 18 2020 at 22:12

Если у вас две декартовы системы координат, $Oxy$ и $\Omega\xi\eta$, то связывающее их уравнение имеет вид $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ где

  1. матрица $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ в обратимой и
  2. $\xi(O)$ и $\eta(O)$ координаты $O$ во второй системе координат.