Картирование $f(z)$
Пусть функция $f$ быть аналитичным в комплексной плоскости, вещественным на действительной оси, 0 в начале координат и отличным от тождественного нуля.
Докажи, что если $f$ отображает мнимую ось в прямую линию, тогда эта прямая линия должна быть либо действительной, либо мнимой осью.
Мои усилия: $f(z)$ является аналитическим тогда и только тогда $g(z)= \overline{f(\bar z)}$ также аналитический.$f(z)$ совпадают с $g(z)$на реальной оси. Рассмотрим последовательность${1/n}$сходится к нулю. Теперь, используя теорему тождества, мы можем заключить$f(z)=g(z)$ над комплексной плоскостью. $g(z)$ отображает мнимую ось на мнимую ось, и поэтому $f(z)$. Я не могу понять когда$f$ отображает мнимую ось на действительную.
Ответы
Позволять $k \ge 1$ порядок нуля $f$в происхождении; локальной формой аналитической функции в точке$0$, а именно $f(z)=cz^k+O(z^{k+1}), c \ne 0$, сразу следует, что $f$ преобразовывает угол $\theta$ между любыми двумя кривыми, проходящими через начало координат, на угол $k\theta$ (в частности $f$ конформна в нуле именно при $k=1$)
Поскольку угол между действительной и мнимой осями равен $\pi/2$, угол между их изображениями равен $k\pi/2$, поэтому по гипотезе мнимая ось направлена в линию, образующую $k\pi/2$ угол с действительной осью для некоторого целого числа $k \ge 1$ и таких линий всего две, мнимая и действительная, в зависимости от того, $k$ нечетное или четное, так что все готово.
$z^2, z^4$ являются примерами, которые удовлетворяют гипотезе и в которых мнимая ось направлена к действительной оси (хотя в одном случае два изображения не пересекаются, за исключением того, что ноль является двумя полустрочными, а в другом они совпадают - обратите внимание, что изображение реального или воображаемая ось под $f$ может не быть на полной строке, которую он тоже отправляет), а $z$ это пример, когда он отправляется самому себе