Когда у триангулированной категории есть сердце?
Предположим $\mathcal{T}$- триангулированная категория. Какие условия$\mathcal{T}$должен удовлетворять, чтобы иметь t -структуру? Если t -структура существует, какие дополнительные условия гарантируют, что$\mathcal{T}$ это производная категория его сердца?
Мой вопрос мотивирован продолжающимся поиском абелевой категории смешанных мотивов, для которой существует несколько конструкций триангулированных категорий. В этом контексте, верно ли, что
(1) вышеупомянутые условия удовлетворяются одной или всеми существующими триангулированными категориями, так что существование абелевой категории гарантировано, и остающийся вопрос заключается в построении t-структуры , или
(2) неизвестно, удовлетворяются ли условия какой-либо из существующих триангулированных категорий, поэтому даже существование t-структуры неизвестно, или
(3) такие условия неизвестны, то есть ответ на мои вопросы в первом абзаце - «не знаю!», По крайней мере, в этой общности.
Я считаю, что вариант (1) неверен, но я включил его, чтобы убедиться. Спасибо!
Ответы
Глупое замечание, что "тривиально" $t$-конструкции существуют всегда. Вы, вероятно, должны сказать, что хотите ограниченный или невырожденный$t$-структура. Насколько я помню, ненулевое отрицательное$K$-группы $T$должен препятствовать первому состоянию, если вы считаете, что сердце неэтериальное или что-то в этом роде. Отметим также, что эти группы для$DM_{gm}$изоморфны мотивам Чжоу; см. Соснило, Владимир, Теорема о сердце в отрицательной K-теории для весовых структур. Док. Математика. 24 (2019), 2137–2158.
Что касается сравнения $DM_{gm}$ с участием $D^b(MM)$: попробуйте прочитать (введение к?) Посицельского, Леонида, Смешанные мотивы Артина-Тейта с конечными коэффициентами. Моск. Математика. J. 11 (2011), нет. 2, 317–402.