Количество способов, которыми 3 одинаковых красных шара и 3 одинаковых белых шара могут быть распределены между 3 отдельными коробками, ни одна коробка не пуста?

Question

Как упоминалось в заголовке, нам нужно рассчитать количество способов, которыми 3 одинаковых красных шара и 3 одинаковых белых шара могут быть распределены между 3 отдельными коробками, чтобы ни одна коробка не была пустой.

Было задано несколько подобных вопросов, но ни один из них полностью не отвечает на этот конкретный вопрос (насколько мне известно).

Я попытался подойти к этому, представив несколько кейсов, которые действительно сработали. Но я не смог создать общий подход, скажем, для n идентичных объектов одного типа и m идентичных объектов другого типа в p разных блоках.

Answer 1

В начале у нас есть $6$белые шары. Мы можем иметь$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$, или же $\{2,2,2\}$ шары в ящиках, с $3$, $6$, $1$различный порядок в трех случаях. Теперь покрасим в красный цвет три из шести шаров. в$\{4,1,1\}$ случае мы можем нарисовать три из $4$ красный ($1$ путь), два из $4$ красный ($2$ способов), или один из $4$ красный ($1$путь); делает$4$способами. в$\{3,2,1\}$ случае мы можем нарисовать все три $3$ красный ($1$ путь), два из трех красных ($2$ способов), один из $3$ красный ($2$ способов), или ни один из $3$ красный ($1$путь); делает$6$способами. в$\{2,2,2\}$ дело мы можем сделать $2$ и $1$ красные шары в разных коробках ($6$ способами) или по одному красному мячу в каждой коробке ($1$путь); делает$7$ способами.

Всего есть $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ различные допустимые распределения.

Answer 2

Случай A. 4 шара в первом боксе.

1. В коробке мы можем найти 3 красных шара и 1 белый или 3 белых шара и 1 красный. Это означает ровно одно расположение для второго и третьего бокса. Итого: 2 перестановки
2. В коробке мы можем найти 2 красных шара и 2 белых шара. Это означает два возможных расположения для второго и третьего боксов. Итого: 2 перестановки
   Всего: 4 перестановки

Случай Б. 3 шара в первом боксе.

1. 3 красных или 3 белых. Это означает, что в других ящиках есть 2 расположения. Итого: 4 перестановки
2. 2 красных + 1 белый или 1 красный + 2 белых. Это означает 4 возможных расстановки в других коробках. Итого: 8 перестановок
   Всего: 12 перестановок

Кейс C. 2 шара в первом боксе.

1. 2 красных или 2 белых. Это означает 6 возможных расстановок в других коробках. Итого: 12 перестановок
2. 1 красный и 1 белый. Это означает 7 возможных расстановок в других коробках. Итого: 7 перестановок
   Всего: 19 перестановок

Случай D. 1 мяч в первом боксе. Только в одну сторону: 1 красный или 1 белый. Это означает 10 возможных расстановок в других коробках.
Итого: 20 перестановок

Вывод: 4 + 12 + 19 + 20 = 55возможные перестановки.