Компромисс между гиперобъемом и диаметром $d$-размерные формы, имеющие гиперкубический наименьший ограничивающий прямоугольник

Aug 20 2020

Учитывая любые $d$-размерная форма $X$, позволять $V(X)$ быть его $d$-размерный объем, и пусть $\ell(X)$ быть длиной самого длинного отрезка, соединяющего две точки $X$.

Позволять $\mathcal{S}_C$ быть набором всех $d$-мерные формы, минимальная ограничивающая рамка которых $d$-мерный куб $C$. Я заинтересован в количественной оценке компромисса между$\frac{V(X)}{V(C)}$ и $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ над $X\in\mathcal{S}_C$ (неформально сколько $\frac{V(X)}{V(C)}$ может быть большим, пока $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ маленький).

Вопрос: Можем ли мы доказать, что для$d\gg 1$ и для всех $X\in\mathcal{S}_C$ существует постоянная $c$ такое, что всегда выполняется следующее неравенство? $$\left(\frac{V(X)}{V(C)}\right)^{\tfrac1d}\le c\cdot\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$$

Ответы

4 fedja Aug 21 2020 at 00:50

Это слишком долго для поля комментариев, поэтому я отправляю его в качестве ответа.

Наихудший сценарий - когда $X$ является пересечением шара радиуса $r\ge 1$ с кубом $C=[-1,1]^d$. Действительно, если взять разностное тело$\frac{X-X}{2}$ любого тела $X$ содержится в кубе и диаметром $\ell=2r$, мы получим тело, содержащееся в кубе, а также в шаре радиуса $r$и объем не будет уменьшаться Брунн-Минковски. Кроме того, поскольку любое такое тело содержит единичный шар, стандартный куб действительно является минимальным ящиком для него. поскольку$\frac{\sqrt n}r X\supset C$, мы видим, что для этого тела всегда выполняется обратное неравенство.

Было бы неплохо найти подходящее приближение для объема этого пересечения, чтобы увидеть, что происходит в режиме, когда $r/\sqrt d$ остается фиксированным и $d\to\infty$, сказать.