Краевой шкаф с выборкой и реконструкцией.

Question

Я знаю, что баловался этим вопросом раньше, здесь и здесь , но есть ли у кого-нибудь в сумке с трюками самое простое и краткое доказательство того, что:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n \, \operatorname{sinc}(t-n) = \cos(\pi t) $$

где

$$ \operatorname{sinc}(x) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \qquad & x \ne 0 \\ \\ 1 & x = 0 \\ \end{cases} $$

и $t\in\mathbb{R}$ и $n\in\mathbb{Z}$ ?

Я могу показать, что обе стороны выполняют одинаковую функцию в $t$ и что обе стороны договорились, когда $t$целое число. Но каков самый простой способ показать равенство для всех$t$ ?

Это то, что я хочу собрать для нас, инженеров-электриков, неандертальцев. (и благодарю вас.)

Answer 1

Этот ответ во многом основан на этом (очень кратком) ответе на связанный вопрос ОП.

Обратите внимание, что для $t\in\mathbb{Z}$равенство просто показать. Интересный случай, когда$t$не является целым числом. Приведенный ниже вывод действителен для нецелочисленных действительных значений$t$.

С помощью $\cos(x)\sin(y)=\frac12\big[\sin(x+y)-\sin(x-y)\big]$ мы можем написать

$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\textrm{sinc}(t-n)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\cos(n\pi)\frac{\sin[\pi(t-n)]}{\pi(t-n)}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t-n}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{t-n}+\frac{1}{t+n}\right)\right]\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}\right]\tag{1}\end{align}$$

Теперь нам понадобится следующий результат:

$$\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}=\pi\cot(\pi t)\tag{2}$$

который можно найти здесь , здесь и здесь , и который может быть получен из хорошо известного представления бесконечного произведения функции sinc

$$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\tag{3}$$

Объединение $(1)$ и $(2)$ дает желаемый результат.

Answer 2

Вам следует быть осторожнее с тем, как вы понимаете сумму, но, предполагая, что вы понимаете $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$ это как предел как $N\to\infty$ из $\sum_{-N\le n\le N}(1-\frac{|n|}{N})a_n$ (Суммирование Чезаро, которое дает тот же результат, что и обычное, когда последнее имеет смысл), вы можете просто написать $$ (-1)^n\rm{sinc}(t-n)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i n(x+\frac 12)}e^{2\pi i xt}\,dx $$ поэтому частичные суммы Чезаро становятся $\int_{-1/2}^{1/2}K_N(x+\frac 12)e^{2\pi i xt}\,dx$ где $K_N(z)=\sum_{-N}^N(1-\frac{|n|}{N}) e^{-2\pi i nz}$- ядро Фейера . Что вы хотите знать сейчас, так это то, что$K_N$ симметрично, неотрицательно, $1$-периодический, имеет полный интеграл $1$ за период и равномерно стремится к $0$вне сколь угодно малой окрестности целых чисел. Итак, для больших$N$, $K_N(x+\frac 12)$ это функция, которая почти $0$ на $(-\frac 12+\delta,\frac 12-\delta)$ для любых фиксированных $\delta>0$ и имеет интеграл почти $\frac 12$ на каждом из интервалов $[-\frac 12,-\frac 12+\delta]$ и $[\frac 12-\delta,\frac 12]$. Когда вы интегрируете что-то подобное с$e^{2\pi i xt}$ над $[-\frac 12,\frac 12]$, вы получите примерно $\frac 12(e^{-\pi it}+e^{\pi i t})=\cos(\pi t)$.

Единственный непростой шаг в этом аргументе - переход от обычного суммирования к суммированию Чезаро. Вы можете избежать этого, но вместо этого вы получите ядро ​​Дирихле, и последний переход к пределу будет несколько менее очевидным (ядро не будет распадаться равномерно в большей части интервала, а вместо этого оно будет колебаться все быстрее и быстрее там, и вы В конечном итоге я воспользуюсь чем-то вроде леммы Римана-Лебега, чтобы показать, что нужно смотреть только на (небольшие окрестности) конечных точек.