Лемма 4.2 Хартсхорн IV.

Aug 20 2020

У меня возникает вопрос относительно доказательства, данного в лемме 4.2 Хартсхорна IV. Позволять$X$ эллиптическая кривая и $P,Q\in X$быть закрытыми точками. Можно показать, что линейная система$|P+Q|$ имеет размерность 1 и не имеет базовых точек, и, таким образом, индуцирует морфизм $g:X \rightarrow \mathbb{P}^1$ степени 2.

Мое замешательство возникает из-за того, что Хартсхорн утверждал после: он, кажется, подразумевает, что каждое волокно $g$имеет мощность два (включая точки разветвления). Я понимаю «степень морфизма» так: если$\deg g =2$, то размер расширения поля $[K(X): K(\mathbb{P}^1)]=2$. Мне кажется, что Хартшорн пришел к выводу, что каждое волокно$g$ тогда должен иметь слой мощности 2.

Как Хартсхорн использовал это, чтобы сделать вывод? Я очень плохо знаю, с чего начать, и я буду очень признателен за любые подсказки / помощь!

Ответы

2 AlexYoucis Aug 20 2020 at 18:56

$\newcommand{\Frac}{\mathrm{Frac}}$$\ newcommand {\ Spec} {\ mathrm {Spec}} $ Вот простой способ понять, что происходит.

У нас есть следующее простое наблюдение:

Наблюдение: Предположим, что имеется включение областей целостности $ A \ hookrightarrow B $, такое что $ B $ - конечный свободный $ A $ -модуль. Потом,

$$ \ mathrm {rank} _A (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$

Доказательство: обратите внимание, что у нас есть естественный изоморфизм $ \ mathrm {Frac} (A) $ -алгебр.

$$ B \ otimes_A \ text {Frac} (A) \ cong \ mathrm {Frac} (B) $$

В самом деле, у нас есть естественное отображение $ B \ otimes_A \ mathrm {Frac} (A) \ to \ Frac (B) $, полученное из включений $ A $ -алгебр $ B \ hookrightarrow \ Frac (B) $ и $ \ Frac (A) \ hookrightarrow \ Frac (B) $ . Это отображение является включением, поскольку у нас есть

$$ 0 \ to \ mathrm {Frac} (A) \ to \ mathrm {Frac} (B) $$

точная последовательность $ A $ -модулей и , таким образом, так как $ B $ является $ A $ - плоской, Это вызывает включение

$$ 0 \ в B \ otimes_A \ Frac (A) \ to B \ otimes_A \ Frac (B) $$

Но, очевидно, $ B \ otimes_A \ Frac (B) = \ Frac (B) $ .

Таким образом, мы видим, что $ B \ otimes_A \ Frac (A) $ - это область, содержащая $ B $ в $ \ Frac (B) $ . Тогда это поле, так как это область целостности, конечная как пространство $ \ Frac (A) $ -векторное, и затем используйте обычный аргумент (например, см. Нижнюю часть [1]). Но тогда это подполе $ \ Frac (B) $, содержащее $ B $ , и поэтому оно равно $ \ Frac (B) $ .

Поскольку $ B $ - конечный свободный модуль, мы видим, что

$$ \ mathrm {rank} _A (B) = \ dim _ {\ Frac (A)} (B \ otimes_A \ Frac (A)) = \ dim _ {\ Frac (A)} \ Frac (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$

по желанию $ \ blacksquare $

Почему это нам помогает? Заметим, что если $ g: C \ to D $ - произвольное непостоянное отображение гладких проективных геометрически интегральных кривых над $ F $ ( $ F $ - любое поле), то $ g $ конечно плоское. Оба они могут быть проверены с помощью $ \ overline {F} $ , поэтому мы предполагаем это. Конечность может потребовать некоторой небольшой работы (например, вот лишнее доказательство: оно правильное, поскольку $ C $ и $ D $ есть, и квазиконечное, поскольку $ C $ имеет конфинитную топологию, а $ g $ не является константой - это следует из основной теоремы Зарисского). Плоскость проста, поскольку $ g $ сюръективен (поскольку $ g (C) $ - неприводимое замкнутое подмножество, не являющееся точкой), а сюръекция схем Дедекинда плоская (например, см. [2, предложение 3.9]).

Таким образом, мы видим, что если $ \ Spec (B) $ является аффинным открытым подмножеством $ D $, то $ g ^ {- 1} (\ Spec (B)) = \ Spec (A) $ для некоторого аффинного открытого подмножества $ \ Spec (A) $ из $ C $ . Но по нашим предположениям мы знаем, что $ A $ и $ B $ являются областями целостности, а отображение $ A \ to B $ инъективно (поскольку $ \ Spec (A) \ to \ Spec (B) $ является доминантным). Более того, путем дальнейшего сжатия мы можем считать, что $ B $ является свободным $ A $ -модулем (например, поскольку $ B $ конечный плоский, он локально свободен над $ A $ - например, см. [3, Tag02KB]) Таким образом, по по нашей лемме

$$ \ mathrm {rank} _A (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$

Но обратите внимание, что $ \ Frac (B) = K (D) $ и $ \ Frac (A) = K (C) $ . Итак, мы видим, что

$$ \ mathrm {rank} _A (B) = [K (D): K (C)] $$

Но если $ p $ - любая точка из $ \ Spec (B) $ , соответствующая простому числу $ \ mathfrak {p} $ из $ B $ , то мы знаем, что

$$ g ^ {- 1} (p) = \ Spec (B \ otimes_A A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}) $$

Итак, легко увидеть, что

$$ \ # g ^ {- 1} (p) \ leqslant \ dim_ {A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}} (B \ otimes_A A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}) = \ mathrm {ранг} _A (B) = [K (D): K (C)] $$

Итак, в итоге вышесказанное показывает, что если у вас есть непостоянная карта кривых $ g: C \ to D $, то размер слоя (скажем, над замкнутой точкой) ограничен $ [K (D) : K (C)] $ и, фактически, если вы определяете "размер" как означающую размерность глобальных секций над $ F $ (где мы предполагаем, что $ F $ для простоты алгебраически замкнуто), будет в точности $ [K (D) : K (C)] $ - другими словами, если вы определяете размер волокна "с кратностью" с учетом нильпотентов (т.е. разветвления $ g $ ), то размер волокна равен точно $ [K (D): K (C) ] $ .

[1] Гомоморфизм $ k $ -алгебр индуцирует гомоморфизм максимального спектра

[2] 刘 擎 (Qing Liu), 2002. Алгебраическая геометрия и арифметические кривые (том 6). Издательство Оксфордского университета по запросу.

[3] Разные авторы, 2020. Stacks project .https://stacks.math.columbia.edu/