Левые смежные классы $H$ в $G$ раздел $G$

Question

Позволять $G$ быть группой и $H$подгруппа. Тогда левые смежные классы$H$ в $G$ раздел $G$. Особенно,$(1)$ каждый $a$ ∈ G принадлежит ровно одному левому классу смежности, а именно $aH$, и $(2)$ если $a, b \in G$, то либо $aH = bH$ или $aH \cap bH = \emptyset $.

Часть $(2)$готово. Моя проблема частично$(1)$, Я пробовал это, но не совсем уверен:

Позволять $a\in G$у нас есть это $e\in H$, так $a\in aH$, поскольку $a=ae$. Это показывает, что$a$ принадлежит некоторому левому классу смежности, а именно $aH$.

Сейчас если $a\in aH$ и $a\in bH$у нас есть это $a=ae=abh$, так $bh=e$ и поэтому $a$ лежит ровно в одном левом смежном классе.

Я прав?

Answer 1

Предполагая, что вы доказали (2), я продолжаю:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Для $a,b \in G$ докажи это $aH=bH$ если только $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Для $a,b \in G$ докажи это $b \in aH$ если только $a^{-1}b \in H$

Тогда следующие условия эквивалентны: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ поскольку $e \in H, a=ae \in aH$. Позволять$a \in bH$. потом$aH=bH$. Таким образом$a$ принадлежит ровно одному левому классу смежности.