Линейная алгебра - проблема размерности подпространства

Question

Я нашел этот вопрос на слайде с лекцией в разделе линейной алгебры GRE предметного теста по математике и не смог его понять.

Предположим $V$является вещественным векторным пространством конечной размерности n. Вызовите набор матриц из$V$ в себя $M(V)$.
Позволять$T∈ M(V)$. Рассмотрим два подпространства$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ и $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

Что из следующего должно быть ИСТИННЫМ?

I. Если $V$ имеет базис, содержащий только собственные векторы $T$ тогда $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

III.$\dim(U)< n$.

Я думаю, что «II» должно быть ложным, но я не могу понять истинность «I» или «III». Любая помощь приветствуется!

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 не обязательно верно. Для взятия$n = 2$, и разреши $T(e_1) = e_1$ и $T(e_2) = 2e_2$. Позволять$X$ Лучший $X(e_1) = e_1$ и $X(e_2) = e_1 + e_2$. потом$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, но $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. потом$TX \neq XT$.

2 верно. Рассмотрим линейное отображение$f: M(V) \to M(V)$ отправка $X$ к $TX - XT$. Тогда мы можем написать$W = \im(f)$ и $U = \ker(f)$. Тогда по теореме о ранговой нули$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3 не обязательно верно. Для взятия$n > 1$ и $T =$личность. потом$U = M(V)$ так $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.