Любое непрерывное отображение гомотопно тому, которое принимает фиксированные значения в конечном числе точек.
Позволять $X$ и $Y$быть топологическими пространствами. Предполагать$X$локально стягиваемо и не имеет плотного конечного подмножества. Предполагать$Y$ связано с путями.
Данный $n$ пары точек $(x_i, y_i)$ где $x_i\in X$ и $y_i\in Y$ за $1\leq i\leq n$ и непрерывная карта $f:X\to Y$ можем ли мы найти непрерывную карту $g:X\to Y$ гомотопен $f$ такой, что $g(x_i)=y_i$?
Ответы
Позволять $X$ быть реальной линией с удвоенным началом и $Y$ быть $\Bbb R$, и разреши $f$ быть картой проекции, которая сворачивает два начала $0^+$ и $0^-$ к $0$. Тогда любая карта$g: X \to Y$ удовлетворяет $g(0^+) = g(0^-)$ потому что $\Bbb R$Хаусдорф. Следовательно,$f$ не гомотопен никакому отображению, которое переводит эти две точки в разные.
Ваш вопрос тесно связан с включением $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$обладающий свойством гомотопического расширения. В частности, если это включение окрестностного деформационного ретракта, то такие гомотопии существуют. В приведенном выше примере каждая точка по отдельности имеет сжимаемую окрестность, но у двух исходных точек вместе нет соседства, которое втягивается обратно в них.