Лучшее доказательство численного неравенства $e^x$

Aug 16 2020

Неравенство

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

Я доказал это, разбив его на 3 случая: $-3<z<0$, $z=0$ а также $0<z<3$.

Для $z=0$, обе стороны равны.

Остальные 2 случая выполнены с помощью исчисления. Определять$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ а затем заменить $|x|$ от $x$ или же $-x$соответственно. Тогда просто проверьте производные.

Но, на мой взгляд, это своего рода грубая сила, поэтому мне интересно, есть ли более быстрый (умный) способ показать это.

Ответы

4 JoséCarlosSantos Aug 16 2020 at 17:25

Обратите внимание, что если $|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}