Матричное представление неабелевых групп порядка $p^3$?

Question

Когда вы смотрите на группы заказов $p^3$ (для нечетных $p$) имеются $2$неабелевы. Одна из них - группа Гейзенберга, которую можно рассматривать как полупрямое произведение$C_p \times C_p$ и $C_p$.

Основываясь на некоторых вычислениях с GAP, я вижу, что другой является полупрямым продуктом $C_{p^2}$ с участием $C_p$.

Можно ли рассматривать эту другую группу как знакомую матричную группу?

---

gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Answer 1

Одним словом, нет. Заметить, что$\mathrm{GL}_n(q)$ за $q$ сила $p$ не может иметь элементов порядка $p^2$ если только $n>p$. Таким образом, как$p$ увеличивается размер матричной группы должен расти.

То же самое и с полями характерных не $p$. Любые$1$-мерные представления группы имеют центр в ядре. Единственные верные представления имеют степень не ниже$p$.

Таким образом, эта группа не имеет точного представления степени ниже, чем $p$ над любым полем.

Изменить: нет матричного представления по любому полю, но есть по кольцу . Эта группа представлена$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

Я обнаружил это только сейчас , просматривая записи Кита Конрада .