Минимизация дисперсии против ожидаемого дефицита: распределения, в которых разница заметна

Aug 19 2020

В теории портфелей в финансах, учитывая набор $n$Активы на выбор, часто выбираются веса портфеля, чтобы максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать некоторую меру риска, например дисперсию или ожидаемый дефицит *. Если мы рассматриваем доходность активов как случайные величины, мы ищем линейную комбинацию с весами, суммируемыми до единицы, случайных величин, которые имеют высокое ожидаемое значение и низкую меру риска. Давайте рассмотрим всего два актива,$n=2$, и предположим, что ожидаемая доходность всех активов равна одной и той же константе, например нулю.

Вопросы:

  1. Какие существуют двумерные распределения, которые позволяют минимизировать дисперсию, но сохранить большой ожидаемый дефицит, или наоборот?
  2. Какие существуют двумерные распределения, которые дают существенно разные оптимальные веса при минимизации дисперсии и минимизации ожидаемого дефицита?
  3. Что характерно для таких распределений? (Приветствуются реалистичные примеры из финансов.)

*$q\%$ ожидаемый дефицит (он же ожидаемая потеря хвоста или условная величина риска) - это просто среднее значение левого хвоста случайной величины, причем хвост обрезается на $q\%$ квантильный уровень.

Тема охватывает как финансы, так и статистику. Вопрос был ранее размещен на Cross Validated, но не получил ответов. Я сейчас репостю его здесь. Хотя перекрестная публикация не рекомендуется, я сохраню сообщение на перекрестной проверке на случай, если в конечном итоге там появится ответ.

Ответы

1 gg Sep 07 2020 at 17:48

Такие вычисления быстро становятся беспорядочными даже в двумерном случае, и их лучше всего решать с помощью моделирования. Тем не менее, основной вопрос о фундаментальном различии между оптимизацией с использованием «хвостового» риска и мер риска на основе дисперсии может быть проиллюстрирован прямым расчетом с использованием только общей доходности портфеля.

Проще говоря, философское и практическое различие состоит в том, что меры риска «хвоста» сосредоточены только на «хвостах», в то время как дисперсия включает информацию из всего распределения. Все остальные различия вытекают из этого основного различия.

Разложение хвоста / нехвоста

Я думаю, что этого вполне достаточно для анализа одномерного случая. Позволять$S$ обозначают общую доходность портфеля (например, $S = wX + (1-w)Y$ на два актива $X$ и $Y$ с весом $0\leq w \leq 1$).

С вероятностью хвоста $0<q < 1$ и хвостовой квантиль $s_q$ (т.е. $\mathbb{P}[S<s_q] = q$) мы можем различить хвост $\{ S \leq s_q\}$ и без хвоста $\{ S > s_q\}$ регионы $S$ используя переменную Бернулли $Z = \mathbb{1}_{\{ S \leq s_q\}} $. Позволять$F_S$ быть распределением $S$ и $\hat{F} = F_S \mid \{Z = 0\}$ быть верхним или не хвостовым условным распределением и $\check{F} = F_S \mid \{Z = 1\}$- нижнее, хвостовое условное распределение. Эти распределения являются нижними или верхними усеченными распределениями . Кроме того, нам нужно$\hat{e}$ и $\check{e}$ ожидания, а также отклонения $\hat{v}^2$ и $\check{v}^2$ из $\hat{F}$ и $\check{F}$.

Для простоты предположим, что $S$имеет непрерывную плотность. потом$-\check{e}$ ожидаемый дефицит $S$. По закону полного ожидания с использованием$\mathbb{E}[S]=0$ видно, что: $$ 0 = \mathbb{E}[S] = q \check{e} + (1 - q)\hat{e}$$ или $$\hat{e} = -\frac{q}{1-q}\check{e}.\tag{1}\label{1}$$

Таким же образом, только теперь, используя закон полной дисперсии , мы можем разделить дисперсию$S$: $$ \begin{align}\mathbb{V}ar[S] &= \mathbb{E}[\mathbb{V}ar[S\mid Z]] + \mathbb{V}ar[\mathbb{E}[S\mid Z]\\ &= q \check{v}^2 + (1 - q)\hat{v}^2 + \frac{q}{1-q}\check{e}^2\tag{2}\label{2}. \end{align}$$ Для третьего члена используется тот факт, что $Z$ Бернулли с $\mathbb{P}[Z=1]=q$ и отношение $(\ref{1})$ между двумя возможными значениями $\mathbb{E}[S\mid Z].$

Интерпретация

Согласно с $(\ref{2})$ дисперсия может быть разложена на две «внутри» дисперсии, т. е. хвостовую и не-хвостовую дисперсию и «промежуточную» дисперсию, возникающую из разницы в средних между хвостовым и не-хвостовым.

Так что да, действительно, большой ожидаемый дефицит приведет к отклонению. В этом смысле оптимизация дисперсии и ожидаемого дефицита даст аналогичные направления. Но дисперсия включает дополнительные условия, которые полностью игнорируются оптимизацией ожидаемого дефицита. И хотя возможно и на практике часто$\check{v}^2$ будет тесно связан с $\check{e}$ хвостами доступных распределений активов, поведение $\hat{v}^2$ часто бывает довольно обособленным и несколько доминирующим, особенно если $q$очень маленький. При оптимизации дисперсии имеет большой смысл взять на себя дополнительный риск, чтобы избавиться от нестабильной волатильности.

Это близорукое поведение также является причиной того, что оптимизация чисто ожидаемого дефицита (или стоимости, подверженной риску) на практике будет редкостью. Если вы регулярно терпите убытки, вас не утешит хорошее управление на уровне 1 из 100 лет.