Могут ли несовместимые системы быть интересными / полезными с математической точки зрения?
Согласно верхнему ответу на этот вопрос:
Занимаясь математикой, мы часто имеем представление об объекте, который мы хотим представить формально, это понятие . Затем мы пишем аксиомы для описания этого понятия и пытаемся увидеть, противоречат ли эти аксиомы самим себе. Если это не так (или если мы не смогли доказать, что это так), мы начинаем работать с ними, и они становятся определением . Математики руководствуются понятием, но работают с определением. Редко понятие и определение совпадают, и у вас есть математический объект, который является именно тем, что интуиция [математиков] подсказывает нам, что он должен быть.
Формализация нашей математической интуиции кажется непростым делом, особенно потому, что наша интуиция часто противоречит сама себе, что приводит ко всевозможным загадочным и достоверным парадоксам. Кроме того, Гёдель показал, что это невозможно сделать одновременно последовательным и полным, поэтому, когда мы действительно находим непротиворечивую формализацию, мы должны пожертвовать полнотой.
Но что, если вместо этого мы откажемся от последовательности? Несогласованные системы, а не последовательные, могут позволить нам формализовать наши (часто непоследовательные) интуиции более реалистично, хотя и менее эффективно.
К сожалению, принцип взрыва, похоже, влечет за собой, что такая система в основном бессмысленна, поскольку каждое утверждение было бы как истинным, так и ложным. Однако, возможно, есть способ обойти это. Например, мы могли бы ограничить правила логического вывода таким образом, чтобы предотвратить принцип взрыва. Или мы могли бы ограничить все доказательства до определенной длины (соответствующей ограниченному количеству интуитивных шагов, которые человек может продержать в своей голове одновременно).
Пробовали ли это раньше? Может ли это быть поучительным / полезным в качестве модели математической интуиции человека?
ПРИМЕЧАНИЕ. С философской, а не математической точки зрения, многие религии / системы мышления готовы пожертвовать согласованностью, чтобы приспособиться к внутренним противоречиям в пределах человеческой интуиции. Дзен-буддизм, вероятно, самый известный пример, и даосизм делает нечто подобное, хотя и менее радикальное. Я также читал книгу Г.К. Честертона «Православие», в которой он описывает свою систему убеждений (он христианин), и он утверждает, что полное следование логике и разуму ведет к безумию и абсурдным последствиям и не может охватить всю полноту противоречия в мысль и реальность.
Ответы
Да, такие системы действительно исследовались - ключевые термины включают «паранепротиворечивую логику» и «логику релевантности». Re: sources, Крис Мортенсен написал сводную статью и книгу по этой теме, хотя у последней есть некоторые проблемы (см. Здесь ).
Еще один важный термин - «диалетеизм». Грубо говоря, паранепротиворечивые и т. Д. Логики парадоксально терпимы в том смысле, что для теории в такой логике простое несоответствие не означает тривиальности. Диалетеизм - это философская позиция, согласно которой существуют истинные противоречия. Грэм Прист много писал по этой теме (см., Например, здесь ).
Тем не менее, я на самом деле не знаю о каких-либо правдоподобных попытках обойти первую теорему о неполноте таким способом: я не знаю естественных кандидатов в теорию в паранепротиворечивой логике, которая является вычислимо аксиоматизируемой, содержит $\mathsf{Q}$как подтеория (скажем), является полной и, вероятно, нетривиальной. Однако мы можем обойти вторую теорему о неполноте в слабом смысле: в книге Мортенсена обсуждается конкретная арифметика релевантности, которая содержит классические методы первого порядка.$\mathsf{PA}$ но чья нетривиальность $\mathsf{PA}$-доказуемо. (Поскольку нетривиальность не подразумевает непротиворечивости в этом контексте, это на самом деле не нарушает вторую теорему о неполноте.) Еще одно примечательное приложение - способность паранепротиворечивой логики понимать смысл наивной теории множеств; см., например, здесь .