Морфизм между областью целостности и полем инъективен?
Я только что прочитал в своих заметках по линейной алгебре следующее утверждение: Пусть A - область целостности, а K - поле. Любой ненулевой кольцевой морфизм$\phi : A \to K$ инъективно.
Я считаю это утверждение ложным, учитывая морфизм $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ Это морфизм между областью целостности и полем, но явно не инъективный.
Так это утверждение неверно? Я совершенно уверен в контрпримере, но каждый раз, когда я не соглашался с замечаниями своего учителя, я ошибался.
Ответы
Вы правы. Вот два варианта того, каким должно было быть утверждение:
Любой морфизм от $K \to A$ инъективно (поскольку ядро является идеалом $K$ и единственные идеалы $(0)$ и $(1) = K$). Неважно, что$A$ является здесь областью целостности, кроме того, чтобы знать, что $A \neq 0$. Если$A$ мы $0$ тогда $K \to 0$ не является инъективным.
Карта $A \to \operatorname{Frac}(A)$ инъективно.