Можем ли мы гарантировать, что существует $\epsilon' > 0$ что справедливо для этого неравенства?

Question

В настоящее время я пытаюсь доказать закон мультипликативного предела:

позволять $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ - сходящиеся последовательности действительных чисел, и $X, Y$ быть настоящими числами $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ и $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$. $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$

Поскольку оба $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ и $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ сходятся к X и Y соответственно. Мы знаем, что $|a_n - X| \leq \epsilon'$ и $|b_n - Y| \leq \delta$.

Мы также знаем, по некоторой лемме, доказанной нами ранее в книге, что $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$.

Это идеально, так как я могу использовать его, чтобы показать, что $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ для какого-то арбитра $\epsilon > 0$, пока я покажу, что существует $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ и что есть некоторые $0 < \delta < 1$ такой, что $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$

Я мог бы доказать первую часть, используя архимедово свойство действительных чисел, но я не уверен насчет второй части. Вторая часть кажется, что она должна работать, поскольку мы можем выбрать сколь угодно малое$\delta$, но я не могу доказать, что это так. Я делаю что-то неправильно? можно ли немного изменить это доказательство, чтобы оно работало?

Answer 1

Если $a_n \to a, b_n \to b$ тогда есть некоторые $M$ такой, что $|a|,|b_n| \le M$.

потом $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$.

Теперь выберите $N$ достаточно большой, чтобы $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$.