Может ли стандартная модель $\sf ZFC$ содержать все порядковые номера без транзитивности?
Под стандартной моделью ZFC я подразумеваю модель ZFC, которая может быть набором или собственным классом и чье отношение элементности является истинным отношением элементности. Транзитивная модель ZFC является стандартной моделью ZFC , который также является переходным классом. По лемме о коллапсе Мостовского каждая стандартная модель ZFC изоморфна через уникальный изоморфизм единственной транзитивной модели ZFC. У меня вопрос: всегда ли можно "развернуть" транзитивную модель ZFC к стандартной, но нетранзитивной модели ZFC? Например, существует ли нетранзитивная стандартная модель ZFC, изоморфная минимальной внутренней модели?$L$? А также существует ли нетранзитивная стандартная модель ZFC, содержащая все ординалы, которая изоморфна минимальной внутренней модели$L$?
Изменить: с учетом сделанных полезных комментариев (ответ на первые два вопроса - да), единственный вопрос, который у меня остался, - последний: существует ли нетранзитивная стандартная модель ZFC, содержащая все порядковые числа, которая изоморфна минимальному внутреннему модель $L$? Если нет, то$L$это не только минимальная внутренняя модель, это минимальная стандартная модель, содержащая все ординалы. В более общем плане, существует ли нетранзитивная стандартная модель ZFC, содержащая все порядковые номера?
Ответы
Я удалил свой предыдущий ответ, поскольку он был неправильным, как указал Родриго Фрейре в комментариях.
Фактически, можно иметь нетранзитивную модель, порядковые номера которой являются начальным сегментом порядковых номеров. Скажи это$M$ транзитивная модель такая, что $M\neq V_\alpha$ для любой $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ (где $V_{\rm Ord}$это просто вся вселенная). Тогда есть самый маленький$\alpha$ такой $\alpha\in M$ и $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.
Определить $N$ быть моделью, полученной рекурсивной заменой $\mathcal P(\alpha)^M$ по $\mathcal P(\alpha)$, или даже просто добавив в эту коллекцию один новый набор. потом$N$ является стандартной моделью, ее порядковые номера являются начальным сегментом порядковых номеров, но не транзитивны.
Если мы возьмем $M=L$ и $V\neq L$, то, конечно, можно получить модель $V=L$ который не $L$.
Асаф Карагила ответил на вопрос, но я думал о частичных результатах для минимальности $L$ в направлении его предыдущего ответа, о чем спрашивал Джесси Эллиот в своем последнем абзаце.
Во-первых, простите меня за то, что я считаю, что теория множеств не очень часто использовала стандартные модели (в смысле этого вопроса), потому что они изоморфны транзитивным моделям. Так что мы к ним не очень привыкли. Однако на самом деле «развернуть» транзитивную модель легко.$M$: взять элемент $a\in M$ и заменим его везде транзитивно на $a\cup \left\{a\right\}$. Если$a$ не является порядковым номером, то итоговая стандартная модель будет разделять порядковые номера $M$.
Теперь, в более позитивном направлении, давайте исследуем результат частичной минимальности для $L$:
-Позволять $M\subseteq L$- стандартная модель, порядковые номера которой являются действительными порядковыми номерами. потом$M=L$ если и только тогда конструктивный заказ $Od$ (см. Shoenfield, ML, стр. 272) абсолютно для $L^M$.
доказательство: сначала обратите внимание, что$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$- стандартная модель, порядковые номера которой являются действительными порядковыми числами. Если$L^M$ были транзитивными, тогда он будет включать $L$, следовательно $M$ будет равно $L$. Итак, допустим, что$L^M$ не является переходным.
Позволять $K$ быть переходным коллапсом $L^M$. Образ$K$ это транзитивная модель $ZF$ содержащий все порядковые номера и содержащийся в $L$, так что, это $L$. Позволять$x$ минимальный контрпример к транзитивности $L^M$. потом$K(x)\neq x$, так $Od(K(x))\neq Od(x)$ (Напомним, что $M\subseteq L$, следовательно $Od$ определено для всех элементов $M$и является инъективным). поскольку$K$ является изоморфизмом из $L^M$ к $L$, $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. Из гипотезы абсолютности,$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.
Следовательно,
$K(Od(x))=K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))\neq Od(x)$,
так $Od(x)$ порядковый номер, который перемещается $K$. Это противоречит гипотезе о том, что ординалы$M$ точно ординалы.