Может ли сумма $n$ квадраты выражаются как сумма $n/2$ квадраты?
Ответ для частного случая, когда квадраты являются тройкой Пифагора, - да. Пифагоровы тройки - это самый низкий$n$, а именно $2$. Две пифагорейские тройки могут быть объединены в сумму$4$ квадраты, как в $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. Комбинируя (складывая) тройки Пифагора, мы можем составить сумму квадратов с произвольными$n$.
Вопрос: Что происходит в общем случае, когда задействованные пары квадратов не являются пифагоровыми тройками или когда не все пары пифагоровы?
Ответы
Ответ да для (даже)$n \geq 8$и нет для (даже)$n \leq 7$.
Если $n \geq 8$ тогда сумма ваших $n$квадраты - это сумма четырех квадратов по теореме Лагранжа о четырех квадратах. Сейчас если$n/2$ больше 4, вы можете завершить свою сумму, добавив достаточное количество членов, равных $0^2$.
За $4 \leq n \leq 7$ Обратите внимание, что $7$ можно записать как сумму $n$ квадратов, но не может быть записана как сумма $n/2$ квадраты.
За $2 \leq n \leq 3$ Обратите внимание, что $5$ это сумма $n$ квадратов, но не суммы $n/2$ квадраты.
Из теоремы Лагранжа о четырех квадратах мы получаем, что каждое натуральное число может быть выражено как сумма четырех полных квадратов. Потому что мы всегда можем добавить$0^2$ без изменения суммы это означает, что каждое натуральное число может быть записано как сумма $n$ квадраты для любых $n\geq4$.
Ваша проблема спрашивает, учитывая это $M$ это сумма $n$ квадратов, можно ли это записать как сумму $\frac{n}{2}$квадраты. Поскольку для этого требуется, чтобы$n$ быть четным, у нас есть четыре случая:
Случай 1: $n=2$
В этом случае, учитывая, что $M$ это сумма двух квадратов, это только сумма одного квадрата, если у нас есть пифагорова тройка.
Случай 2: $n=4$
В этом случае, $M$может быть любым натуральным числом. Вопрос заключается в том, можно ли написать обычное натуральное число как сумму двух квадратов. Ответ на этот вопрос исходит из теоремы о сумме двух квадратов, приписываемой Эйлеру, и гласит, что число может быть записано как сумма двух квадратов тогда и только тогда, когда его разложение на простые числа не содержит конгруэнтного простого числа.$-1\mod4$ повышен до нечетной степени.
Случай 3: $n=6$
В этом случае M может быть любым натуральным числом. Вопрос заключается в том, можно ли обычное натуральное число записать как сумму трех квадратов. Из теоремы Лежандра о трех квадратах ответ состоит в том, что большинство, но не все натуральные числа можно записать в виде суммы трех квадратов. В частности, все натуральные числа, кроме тех, которые встречаются вhttps://oeis.org/A004215 можно записать как сумму трех квадратов
Случай 4: $n\geq8$
В этом случае каждое натуральное число можно записать как сумму $\frac{n}{2}$ квадратов, поэтому ответ очевиден: да.
Для случаев 3 и 4 у нас достаточно свободы выбора. $n$ квадраты, которые мы можем выбрать разбивку, не включающую троек Пифагора
Я не уверен, правильно ли я понимаю вопрос, потому что, если вы действительно имеете в виду это, то не так уж сложно найти контрпримеры.
Моя интерпретация: Учитывая набор $n$ положительные целые числа, $\{ a_1, ..., a_n \}$, можно найти коллекцию $n/2$ положительные целые числа, скажем, $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ такой, что $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.
Если это именно то, что вы на самом деле имеете в виду, сначала рассмотрите $n$быть нечетным целым числом, и все готово. Так как$n/2$ не является целым числом, утверждение явно неверно.
Теперь предположим $n$разрешено только быть четным. Рассмотрим, скажем$n = 2$ а также $a_i = 1$ для обоих $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$, а не идеальный квадрат, и поэтому является контрпримером к утверждению.
Любые две пифагорейские тройки могут быть представлены как сумма четырех квадратов или сумма двух квадратов.
Примеры: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
или из примера, который я показал в своей первой версии этого ответа: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
где $8$ суммы квадратов выражаются как $4$. Я привел пример$4$ равные значения, но любое четное количество любых комбинаций $C$-значения могут быть уменьшены до половины этого числа.
Другой пример здесь, где $10$ квадратные суммы равны $5$ суммы $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
По вашему последнему вопросу, если квадраты не требуются, есть также бесконечные решения: $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ или $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$