Можно ли сделать вывод, что последовательность $a_n$ такой, что $ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \dots$, и $a_1 \neq 0$ растет?

Question

У нас есть бесконечная последовательность $$ a_1, a_2 , a_3 \cdots $$ И дано, что $$ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \cdots \\ a_1 \neq 0 $$ (то есть разница между последующими членами увеличивается, и первый член не может быть равен нулю)

Можно ли сделать вывод, что абсолютные значения последующих членов увеличиваются? Это можно сделать вывод$$ |a_1| \lt |a_2| \lt |a_3| \lt |a_4| \cdots $$ Игра с неравенствами, указанными в вопросе, может дать нам информацию о том, что альтернативные члены увеличиваются (в абсолютном / числовом значении, оставляя $a_1$ в сторону, то есть не сравнивать $a_1$с любыми терминами, но только заботясь о том, чтобы оно не было нулем), но не в последовательных терминах. Таким образом, я думаю, что мы не можем сделать вывод о численном увеличении числа следующих друг за другом сроков.

Разъяснительный ответ ищется.

Answer 1

Рассмотрим последовательность $b_n:=c_n(1-\tfrac{1}{n})$ где $c_n\in\{+1,-1\}$, а последовательность $a_n:=\sum_{i=1}^nb_i$.

потом $|a_{n+1}-a_n|=|b_{n+1}|=1-\tfrac{1}{n+1}$ растет, но из-за случайного выбора $c_i$ невозможно сказать, есть ли $a_n$увеличивается или уменьшается. Вот пример, созданный случайным выбором$c_n$.

Answer 2

Достаточно одного контрпримера, и вы можете создать его всего с тремя членами. Если вы хотите пойти немного дальше и показать, что не должно быть даже точки, за которой термины увеличиваются в абсолютном значении, вам нужно работать немного больше, но не намного. Например, пусть$a_1=1$, и вообще пусть

$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n,&\text{if }n\text{ is odd}\\ a_n+n,&\text{if }n\text{ is even,} \end{cases}$$

так что вы получите последовательность $1,0,2,-1,3,\ldots\;$; нетрудно показать по индукции, что в этом случае$a_{2n-1}=n$ и $a_{2n}=1-n$ для всех $n\in\Bbb Z^+$. Очевидно$|a_{n+1}-a_n|=n$ за $n\in\Bbb Z^+$, но $|a_{2n}|=n-1<n=|a_{2n-1}|$ за $n\in\Bbb Z^+$.