$\mu(A_n \Delta B_n)=0$ для всех $n.$
Позволять $(X,S,\mu)$ пространство меры, и пусть, $(A_n), (B_n)$ две последовательности элементов S. Если $\mu(A_n \Delta B_n)=0$ для всех n доказательств следующие $\mu-$нулевые наборы ($\mu(E)=0$ для $E\in$S):
я) $\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$.
II) $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$.
iii) $\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$.
iv) $\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$.
Для (i) я доказываю, что $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, потому что $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$ и $B_n-A_n$, $A_n-B_n$ не пересекаются, то $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$ для всех, но $\mu$ не является отрицательным, тогда $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$.
Для (ii) я использовал это $({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$ тогда $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$.
Но в отношении (iii) и (iv) я не уверен.
Ответы
Нам нужны общие идентичности:
Позволять $K$индексный набор. Потом:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$ Первая личность: Если $a\in \bigcup_{k\in K} X_k$ но $a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$, тогда $a\in X_{k_0}$ и $a\notin Y_{k_0}$, так $a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, для некоторых $k_0\in K$. Другой случай аналогичен.
Второе: определение заданной разницы.
Третье: примените первое и второе и Де-Морган
Ответы (i) и (ii) - это простое применение идентификатора выше + $\sigma$-субаддитивность меры.
Для (iii): установить $X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$ и $Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$. потом$X_n \triangle Y_n$ является нулевым набором: он покрывается объединением нулевых наборов: $X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$, по первому тождеству.
Теперь отношение $\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$ аналогично следует, что $\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$.
В $\underline{\lim}$ корпус практически идентичен.