$N(\frac{1}{2},2)=3$ для векторов в гильбертовом пространстве

Question

Столкнулся с этим вопросом относительно максимального числа почти ортогональных векторов, которые можно вложить в гильбертово пространство. Они заявляют, что$N(\frac{1}{2},2)=3$, и это явное построение векторов с помощью сферы Блоха показывает это. Однако я не могу понять, что они имеют в виду под этим. Их дальнейший пример$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$для меня имеет смысл, так как это просто собственные векторы операторов Паули. Но как показать, что количество векторов, удовлетворяющих следующим критериям, составляет всего 3?

$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$

$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$

Answer 1

Вот очень наглядный способ подумать об этом (я не утверждаю, что это строгое доказательство). Позволять$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$Каждый из них имеет перекрытие 1/2. Теперь нарисуйте их на сфере Блоха. Это три равноотстоящих вектора по большому кругу. Вы не можете подтолкнуть одно к другому, потому что это увеличило бы их перекрытие.

Теперь можно добавить четвертый вектор? Какой бы вектор я не добавил в сферу, он должен составлять угол$\pi/2$ или меньше с одним из существующих векторов, и, следовательно, будет перекрываться $1/\sqrt{2}$или выше. Итак, по крайней мере, для этого выбора из трех векторов я не могу добавить четвертый и сохранить значение$\epsilon$.

Имея в виду эту картинку, вы, вероятно, также можете убедить себя, что эти векторы нужно выбирать таким образом.$|V_1\rangle$произвольно, я могу просто сориентировать вид так, чтобы он находился наверху сферы. Для$|V_2\rangle$ У меня есть произвольная свобода вращения вокруг $V_1\rangle$оси, поэтому я просто выбрал ортогональный компонент, чтобы он был действительным и положительным. В этот момент мой выбор$|V_3\rangle$ было исправлено - был только один вариант, который мог иметь правильное перекрытие.

Если визуальная версия не сделает этого за вас, я уверен, что кто-то формализует это математически ...