Набор - это группа?

Aug 19 2020

Позволять $A$ быть непустым множеством, $+$ является ассоциативной бинарной операцией и для каждого $a$ в $A$, две карты

  1. $A \to A$ что посылает $x$ к $x+a$
  2. $A \to A$ что посылает $x$ к $a+x$

являются биективными отображениями. Вопрос в том, будет ли$(A, +)$ группа или нет?

Насколько я понимаю, $A$ является группой, если у нее есть идентичность, и каждый элемент имеет инверсию, но я не совсем уверен, как использовать эти биективные карты, чтобы доказать / опровергнуть, что $A$ это группа.

Ответы

7 DanShved Aug 19 2020 at 10:07

Нейтральный элемент (идентичность)

Зафиксируйте произвольный элемент $a$. Поскольку карта$x \to a + x$ биективен, элемент $a$ имеет ровно один прообраз под этим отображением, т.е. существует единственный элемент $e$ такой, что $a + e = a$.

Следующий шаг - доказать $\forall y: y + e = y$. Выберите произвольный$y$. По биективности карты$x \to x + a$ существует $x$ такой, что $x + a = y$. Теперь добавив$x$ слева равенство $a + e = a$ (и используя ассоциативность) получаем $y + e = y$, qed.

Так, $e$- правый нейтральный элемент. Тогда обратите внимание, что$e + e = e$, и по тому же аргументу, что и выше $e$ также является левым нейтральным элементом.

Перевернутые

Наконец, нам нужно доказать существование обратных. Выберите произвольный$x$. В силу сюръективности левого и правого сложения существуют элементы$y_1$ а также $y_2$ такой, что $y_1 + x = e$ а также $x + y_2 = e$. Обратите внимание, что

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

Следовательно, $y_1$ (который также $y_2$) является обратным для $x$.

1 ChrisCuster Aug 19 2020 at 10:17

Должен быть уникальный элемент идентичности:

Есть уникальный $e_a$ для каждого $a$ такой, что $ae_a=a$.

Теперь, взяв уникальный $c$ такой, что $ca=b$мы получаем это $cae_a=be_a$ а также что $cae_a=ca=b$, так что $be_a=b$ и поэтому $e_a=e_b$.

Таким образом, мы имеем, что существует единственный правый обратный. Аналогично существует единственный левый обратный. Теперь нам нужно показать, что двое равны. Но это легко, так как$e_le_r=e_r=e_l$.

Теперь биективность означает, что должен быть единственный $x_a$ такой, что $ax_a=e$. И точно так же есть уникальный$y_a$ такой, что $y_aa=e$. Но потом$y_aax_a=x_a=y_a$.

Таким образом, мы выполнили четыре условия для группы, поскольку замыкание и ассоциативность по существу даны.

hal Aug 19 2020 at 21:45

По крайней мере, для конечных $A$Да, хватит иметь группу.

Вызов $\theta_a$ а также $\gamma_a$соответственно, левое и правое карты трансляции фиксированным элементом $a\in A$. Теперь, по предположению,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ и (ассоциативность) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. Поэтому (закрытие)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, и, следовательно $\exists \tilde e\in A$ такой, что $\theta_{\tilde e}=Id_A$. Точно так же, будучи$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ такой, что $\gamma_{\hat e}=Id_A$; но$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ а значит, левое и правое тождества совпадают, скажем $e:=\tilde e=\hat e$.

Теперь, поскольку $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, тогда $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ такой, что $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ или, что то же самое, $a\tilde b=\hat ba=e$; из этого последнего мы получаем, например, $\hat ba=a\hat b$откуда $a\tilde b=a\hat b$ или, что то же самое, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, и наконец $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.