Нахождение функции расстояния $1$ из $x^2$ вдоль его нормалей [дубликат]

Question

Итак, я недавно подумал о проблеме, которую пытался решить многими способами, но не смог. Описать очень просто ...

Найдите функцию, которая есть расстояние $1$ от параболы $y=x^2$вдоль его нормалей. Наглядно того, что я имею в виду .

---

Это одна из вещей, которые я пробовал ...

Эта функция получит соответствующий $x$ значение функции, которую мы хотим найти из $x$ значение на кривой $y=x^2$. Обратное дало бы соответствующее$x $ значение на $x^2$ для данного $x$ значение, которое сделало бы тривиальным определение $y$ значение. $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ Это можно решить этим ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ Однако я не знаю, как получить инверсию этой функции.

Answer 1

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ так $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ или, по словам Вулфи, $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$.

Это квартика в $x$ который можно решить, но, как и ожидалось, он невероятно беспорядочный.

Answer 2

Я нашел параметрические уравнения геометрического места

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$

---

Answer 3

Мы можем изменить стандартную параметризацию путем смещения. Используемый$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ на графике (для наглядности используется смещение 0,2 вместо 1,0).

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

Добавляем или убираем расстояния по нормали и касательной со смещением $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$