Нахождение обратного преобразования Лапласа $\frac{s}{(s+1)^3}$ используя формулу обращения
Мне нужно найти обратное преобразование Лапласа $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$используя Bromwich Integral. Контур Бромвич будет выглядеть как это .
На самом деле вы можете увидеть эту проблему по следующей ссылке: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. Хотелось бы узнать, зачем показывать интеграл вдоль$L_u$, $C_R$, $L_D$ является $0$? Я имею в виду, что я видел много примеров в некоторых книгах (например, «Математические методы для физиков», 3-е изд.), Просто нужно показать остаток на простых полюсах для решения инверсии преобразования Лапласа.
Итак, в этом случае это должно быть:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
Вы можете объяснить, почему мы должны показывать интеграл вдоль $L_u$, $C_R$, $L_D$ является $0$ (на основе данной ссылки), если теории вычетов достаточно для вычисления интеграла, чтобы найти обратное преобразование Лапласа $F(s)$?
Надеюсь, ты сможешь мне объяснить. Я хочу узнать об этом больше, но все еще запутываю, когда доходит до этого вопроса. Большое спасибо!
Ответы
Теорема о вычетах является расширением интегральной теоремы Коши . Обе теоремы начинаются со спрямляемых замкнутых кривых в простой связной области в$\mathbb{C}$.
Обратное преобразование Лапласа $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$, выражается
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
где $c$ действительное число, большее, чем все особенности $F(s)$.
Чтобы применить теорему о вычетах, мы вычислим интеграл от $F(s)e^{st}$по замкнутой и спрямляемой кривой. Итак, приступаем к анализу и пишем
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
Учитывая конкретный вопрос ОП, мы предполагаем здесь, что единственные особенности $F(s)$полюсные особенности. Если$F(s)$ имеет особенности точек ветвления, то мы бы замкнули путь Бромвича так, чтобы точки ветвления и соответствующие разрезы ветвления были исключены из замкнутого контура.
Предположим, что все $N$ количество полюсов $F(s)$ находятся внутри замкнутого контура $C$ и обозначим расположение $n$-й полюс $s_n$, где $n=1,2\cdots N$. Тогда из теоремы о вычетах имеем
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
Кроме того, как $R\to \infty$, первый интеграл в правой части $(2)$ подходы $2\pi i f(t)$ как выражено в $(1)$. Итак, если интеграл по$L_u+C_R+L_d$ исчезает как $R\to \infty$, то от приравнивания $(2)$ и $(3)$, мы находим, что
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
ПРИМЕЧАНИЕ: выражение в$(4)$ был основан на предположении, что
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
Если $(5)$ не выдерживает, тогда $(4)$ не выдерживает того же.