Нахождение точки пересечения двух плоскостей
При выполнении упражнения по нахождению линии между двумя пересечениями плоскостей нам требуется найти точку и вектор направления линии. Вектор направления прост, потому что он перпендикулярен обеим нормалям, но я немного запутался в том, как взять точку.
Предположим, нам нужно было задать уравнение двух плоскостей,
$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$
А также,
$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$
Чтобы найти точку вдоль линии пересечения, часто рекомендуется положить одну из координат за ноль, скажем$x, y$или же$z$а затем решить для оставшихся координат. Но я не уверен, почему мы это делаем, например, откуда мы знаем, что линия между пересечением двух линий всегда должна иметь$x$,$y$а также$z$перехватывает?
Я видел этот пост , но не думал, что он отвечает на мой вопрос, и в этом он тоже не рассматривался.
Ответы
Предположим, что$\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. Тогда вы можете переформулировать задачу следующим образом:
$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$и решить для$x$а также$y$:$$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$Это показывает, что для любого$z=t\in{\Bbb R}$вы получаете уникальное решение для$x$а также$y$. Здесь происходит то, что пересечение двух плоскостей$P_1,P_2$с самолетом$z-t=0$обеспечивает две непараллельные линии (из-за ненулевого определителя AB) в$x-y$самолет. Таким образом, эти две линии имеют уникальную точку пересечения.
Теперь, когда ваш определитель AB выше равен нулю (т.е. ваши две строки в$x-y$плоскости параллельны), то вы можете искать ненулевое$B-C$матрица (и решить для$y,z$) или ненулевое$C-A$матрица (и решить для$z,x$). Если все эти определители равны нулю, то две ваши исходные плоскости на самом деле параллельны, поэтому либо пересечение пусто, либо это плоскость.
Обратите внимание, что три определяющих фактора, которые вы вычисляете, на самом деле являются компонентами векторного произведения векторов нормалей для плоскостей, поэтому ненулевое векторное произведение действительно является условием того, что пересечение является линией.
Такие вопросы можно решить, либо предполагая любой из$(x,y,z)$быть равным нулю или оставить единицу постоянной. Интуиция, стоящая за сохранением одной из них нуля, заключается в том, что в большинстве случаев получаемые нами линии не параллельны плоскости, поэтому они обязательно должны пересекаться.
Когда это не так, сохранение переменной нуля приведет к противоречивой паре линейных уравнений.