Найдите CDF $Y=X+|X-a|$ где $X\sim\text{unif}[0,b], b>a>0$

Question

Данный $X\sim\text{unif}[0,b]$, Мне нужно найти следующую вероятность:

$$F(y)\triangleq\mathbb{P}(Y\leq y)$$

Для всех $y\in\mathbb{R}$, где $Y=X+|X-a|$ и $b>a>0$ заданы положительные константы.

Моя попытка : Ясно, что$Y\in[a,2b-a]$, следовательно $F(y)=0$ для всех $y<a$ и $F(y)=1$ для всех $y\geq2b-a$. Теперь осталось только посчитать$F(y)$ для $y\in[a,2b-a)$:

$$F(y)=\mathbb{P}(X+|X-a|\leq y)= \\=\mathbb{P}(2X-a\leq y \mid X<a)\mathbb{P}(X<a)+\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\mathbb{P}(X>a) = \\ =\frac ab\mathbb{P}(X\leq \frac{y+a}{2} \mid X<a)+\frac{b-a}{b}\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\triangleq\frac ab P_1+\frac{b-a}{b} P_2$$

Я подумал что $[X|X<a]\sim\text{unif}[a,b]$, следовательно:

$$P_1=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{\frac{y+a}{2}}\text{d}x=\frac 12 \frac{y-a}{b-a}$$

Я использовал тот факт, что $(y+a)/2<b$ так как я предполагал $y<2b-a$. Теперь вот моя проблема - я не знаю, как работать с$P_2$. Я предполагал, что$P_2=1$ так долго как $y\geq a$ (и это в точности согласуется с моим предположением, что $y\in[a,2b-a)$), но в этом случае:

$$F(y)=\frac{a}{2b} \frac{y-a}{b-a}+\frac{b-a}{b}$$

Для меня это не имеет смысла. Вот пример того, почему: если мои расчеты верны, то$F(a)=(b-a)/b$, но на самом деле:

$$F(a)=\mathbb{P}(Y\leq a)=\mathbb{P}(Y=a)+\mathbb{P}(Y<a)=\mathbb{P}(Y=a)=\mathbb{P}(X\leq a)=a/b$$

($\mathbb{P}(Y<a)=0$ поскольку $Y\geq a)$

Спасибо!

Answer 1

У вас есть несколько случаев наоборот. Если$X < a$, тогда $|X - a| = a - X$, следовательно $Y = a$для этого случая. Заметка

$$Y = \begin{cases} a, & X \in [0,a] \\ 2X - a, & X \in (a, 1]. \end{cases}$$

Следовательно, $$\Pr[Y \le y] = \Pr[a \le y \mid X \le a]\Pr[X \le a] + \Pr[2X - a \le y \mid X > a]\Pr[X > a].$$ Тогда, поскольку $$\Pr[a \le y \mid X \le a] = \mathbb 1(y \ge a) = \begin{cases} 0, & y < a, \\ 1, & y \ge a, \end{cases}$$ и $$\Pr[X \le \tfrac{a+y}{2} \mid X > a] = \frac{\frac{a+y}{2} - a}{b-a} \mathbb 1(y \ge a) = \frac{y-a}{2(b-a)} \mathbb 1(y \ge a)$$ мы получаем $$\Pr[Y \le y] = \mathbb 1 (y \ge a)\left( \frac{a}{b} + \frac{y-a}{2(b-a)}\frac{b-a}{b}\right) = \frac{a+y}{2b} \mathbb 1(y \ge a)$$ которое после исправления конечных оценок на $X$, дает $$\Pr[Y \le y] = \begin{cases} 0, & y < a \\ \frac{a+y}{2b}, & a \le y \le 2b-a \\ 1, & y > 2b-a. \end{cases}$$