Найдите достаточную статистику $Y$ за $\theta$ затем найдите оценку Байеса $w(Y)$

Aug 20 2020

Позволять $X_1,...,X_n$ быть случайной выборкой iid, имеющей pdf $\theta x^{\theta-1}1(0 < x \le 1)$

Найдите достаточную статистику $Y$ за $\theta$ затем найдите оценку Байеса $w(Y)$ на основе этой статистики с использованием функции потерь $L(\theta,a) = (a-\theta)^2$ где априорное распределение экспоненциально со средним $\frac{1}{\beta}$.

Первая достаточность:

Функция правдоподобия $\displaystyle L(\theta) = \Pi_{i = 1}^n\theta x_i^{\theta -1} = \theta^n(x_1\cdots x_n)^\theta(x_1\cdots x_n)^{-1}$ таким образом, по теореме факторизации мы можем взять $Y = (x_1\cdots x_n)^{-1}$.

Байесовский оценщик:

Для потерь квадратичной ошибки оценщик $w(Y) = \hat{\theta} = E[\theta \mid Y\,]$ т.е. среднее значение апостериорной.

Для апостериорного необходимо сначала решить $m(y) = \displaystyle \int_0^\infty \beta e^{-\beta \theta}y^{1-\theta}d\theta$Это хорошо известный интеграл? Я пытался решить с помощью u-подстановки, но где-то ошибаюсь. я стараюсь$u = y^{-\theta}, du = -y^{-\theta}\log(y)d\theta$ но по какой-то причине я не вижу, как позаботиться о $e^{-\beta\theta}$.

Прежде чем продолжить, хотелось бы узнать, правильно ли это:

РЕДАКТИРОВАТЬ: $y^{-\theta} = e^{-\theta \log(y)}$ так переписать как $\displaystyle \beta y \int_{0^\infty}e^{-\theta(\beta + \log(y))}d\theta$ и установить $u = -\theta(\beta + \log(y)) $

Тогда у нас будет $\displaystyle -\frac{\beta y}{\beta + y}e^{-\theta(\beta + \log(y))} \bigg \vert_{\theta = 0}^\infty= \frac{\beta y}{\beta + y}$

Все еще хотелось бы знать, хорошо ли это известный интеграл.

Теперь следующий шаг - решить $\displaystyle E[\theta \mid Y] = \int_0^\infty \theta \frac{y+\beta}{\beta y}\beta e^{-\beta \theta}\theta^ny^{1-\theta}d\theta$верный? и это даст возможность использовать искомую оценку.

Ответы

1 tommik Aug 20 2020 at 04:09

Используя теорему факторизации, достаточная статистика для $\theta$ является $y=\prod_i X_i$. Это потому, что функция$g(\theta,t(\mathbf{x}))$ зависит от данных только через статистику «t = product».

Функция $\frac{1}{\prod_{i}X_{i}}$ вы ошибочно определили, что достаточной статистикой является функция «только x».

Тогда апостериор будет следующим (подсказка: при вычислении апостериорного значения отбросьте любую величину, не зависящую от $\theta$)

$$\pi(\theta|y) \propto e^{-\beta \theta}\theta^n y^{\theta-1}$$

$$\propto e^{-\beta \theta}\theta^n e^{(\theta-1) log y}$$

$$\propto \theta^ne^{-(\beta-logy)\theta}$$

... мы сразу распознаем в этом апостериорном гамма-распределение ...

теперь вы можете решить проблему самостоятельно, не решая интеграл аналитически