Найдите глобальный максимум / минимум в прямоугольной области

Aug 17 2020

Найдите все глобальные точки максимума / минимума этой функции:

$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
В прямоугольнике с вершинами:

$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$

Я попытался нарисовать этот прямоугольник, и у меня получилось:

$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$

Я вычислил частные производные:

$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$

Итак, я понял, что единственная точка зрения $(3,4)$

Чего нет на прямоугольнике ... значит, нет глобальных точек максимума / минимума? Я считаю, что это неправильный подход, буду признателен за вашу помощь!

Спасибо!

Ответы

1 aras Aug 17 2020 at 03:23

Нахождение точек, где $f_x = 0$ и $f_y = 0$дает вам все локальные экстремумы в интерьере региона$[-2, 3] \times [-1, 1]$, т.е. открытый прямоугольник $(-2, 3) \times (-1, 1)$. Вы показали, что внутри нет локальных экстремумов. Однако на границе прямоугольника все еще могут быть максимумы / минимумы. (Фактически, потому что$[-2, 3] \times [-1, 1]$ компактен, анализ говорит нам, что мы можем найти глобальный максимум и минимум.)

Чтобы найти эти глобальные максимумы и минимумы, вам нужно посмотреть, какие значения $f$ принимает границу прямоугольника $[-2, 3] \times [-1, 1]$. Когда он самый маленький / самый большой?

Например, мы можем сначала посмотреть на нижний край прямоугольника. Это набор точек$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. В этом регионе наша функция$f$ принимает ценности

$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$

поскольку $y$ всегда $-1$по нижнему краю прямоугольника. Отсюда вы можете использовать исчисление с одной переменной для вычисления значения (значений)$x$ в $[-2, 3]$ для которого $f$ минимальный / максимальный.

Затем проделайте то же самое с другими сторонами.

(Изменить: так же, как вы должны проверять края прямоугольника в дополнение к его внутренней части, вы должны проверять «края» сторон (т.е. четыре угла) в дополнение к самим сторонам! Другими словами, не нужно (я забыл, нужно ли вычислять f в каждом из четырех углов, и посмотреть, дает ли он экстремальную точку).

1 FelipeAlandete Aug 17 2020 at 03:32

Тот факт, что найденная вами точка не находится в прямоугольнике, означает, что, если смотреть на общую функцию, точка максимума / минимума не находится в прямоугольнике. Однако мы смотрим только на небольшую область функции - ту, которая ограничена прямоугольником.

Если вы можете представить себе график любой функции, ограниченной этим прямоугольником, вы заметите, что он определенно имеет максимум и минимум где-то на границе. В исчислении с одной переменной это объясняется теоремой об экстремальных значениях.

Итак, вы должны найти точки максимума и минимума четырех линий, которые возникают в результате пересечения функции и плоскостей y = 1, y = -1, x = -2 и x = 3. Эти плоскости являются продолжением стороны прямоугольника.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, я буду рад помочь.

1 JeanMarie Aug 17 2020 at 03:25

Вы попадаете в классический случай, когда экстремумы находятся на границе, поэтому действительно бесполезно аннигилировать частные производные.

Думайте геометрически: ваша проблема связана с пересечением параболоида $P$ чья вершина находится в $(3,4,100)$ и ось определяется $x=3,y=4$ и коробка $B$ чье пересечение с плоскостью Окси - это то, что вы нашли.

Реплика: перекресток $I=B \cap P$ представляет собой объединение параболических дуг.

  • Самая низкая точка I будет по вертикальной оси $(x=3, y=1)$(ближайшая к оси P). Подставьте эти значения в уравнение, чтобы получить$z_{min}=109$.

  • Наивысшая точка I будет получена на вертикальном краю прямоугольника, наиболее удаленном от оси P, т. Е. С координатами $(x=-2,y=-1)$. Еще раз подставьте эти значения в уравнение, чтобы получить$z_{max}=150$.