Найдите хотя бы одно решение системы уравнений со связями

Question

Рассмотрим систему уравнений со связями $$ \begin{cases} x+y+z+t+u+v=3(a+b), \\ x+y+2(z+t)+3u=6b\\ 0 \leq x,y,z,t,u,v \leq 1, \end{cases} $$ Вот $0 \leq a,b \leq 1$ фиксированные параметры.

Мне нужно найти хотя бы одно нетривиальное решение уравнения. Под нетривиальным я подразумеваю решение, отличное от$0$ и $1$, это было бы очень предпочтительно для почти всех $a,b.$ Лучше, если бы решения были выражены в терминах $a,b$. Если нет, то должен быть алгоритм для его расчета.

Моя попытка. Я отнесся к проблеме как к проблеме оптимизации и попробую использовать симплексный метод. К сожалению, я очень часто получаю решение с множеством нулей и единиц. Например, если$a=0.22, b=0.34$ я получил $$ t= 0.52,u= 0.0,v= 0.16,x= 1.0,y= 0.0,z= 0.0$$ и это не так хорошо.

Любые идеи?

Answer 1

Складывая и вычитая, мы получаем множество всех решений:

$y=6a+u-2v-x$ и $z=-3a+3b-t-2u+v$.

Так, например, установка $a=\frac{1}{2}, u=\frac{1}{6}, v=\frac{6}{7},x=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{2}$ и $b=\frac{2}{3}$ дает $y=\frac{20}{21}$ и $z=\frac{11}{21}$.