Найдите все конечные группы $G$ ул для любого $a,b\in G$ либо $a$ это сила $b$ или $b$ это сила $a$

Aug 19 2020

Найдите все конечные группы $G$ ул для любого $a,b\in G$ либо $a$ это сила $b$ или $b$ это сила $a$

Думаю, я показал, что все такие группы $Z_{p^n}$ для $p$премьер, это правильно? Я впервые показал, что группа должна быть циклической, рассматривая элемент наибольшего порядка$\langle a\rangle$ и достигая противоречия, если $\langle a\rangle\not= G$., а затем что если $Z_n$ с участием $n$составной, то у него нет этого свойства. поскольку существуют две непересекающиеся циклические подгруппы взаимно простых порядков.

Это правильно? Все группы такие группы$Z_{p^n}$?

Ответы

FiMePr Aug 19 2020 at 04:00

Это правильно. Ну, кроме «непересекающихся подгрупп». Подгруппы «почти не пересекаются», т. Е. Их пересечение сводится к единице, но они не могут быть буквально не пересекающимися.

egreg Aug 19 2020 at 04:38

Да, если взять $a$ с максимальным порядком и, от противного, существует $b\notin\langle a\rangle$, тогда $a=b^n$ для некоторых $n>1$, так $b$ имеет больший порядок, чем $a$.

Следовательно $G$ циклический.

Теперь мы можем доказать, что порядок $G$ Должна быть основная сила: нельзя исключать «составной» (небольшая ошибка, но важная).

Если $|G|$ делится на два различных простых числа $p$ и $q$, тогда $G$ имеет подгруппы порядка $p$ и $q$, но они имеют тривиальное пересечение, поэтому группа не может обладать указанным свойством.

Циклическая группа порядка $p^n$ ($p$ простое число) обладает указанным свойством.